2.2. Законы распределения вероятностей для дсв .

Определение: Законом рапределения вероятностей ДСВ называют соответствие между возможными значениями величины и их вероятностями.

Закон распределения можно задавать либо аналитическим, либо табличным, либо графическим способами.

X	x1	x2	x3	……	xn
P	P1	P2	P3	……	Pn

P₁ = P(Х = x₁) , P₂ = P(Х = x₂) , ……., P_n = P(Х = x_n) .

В одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение: x₁, x₂, x₃, ….. x_n, т.е. события {Х = x₁}, {Х = x₂,}, ….., {Х = x_n} будут образовывать полную группу событий, и сумма их вероятностей равна единице , P₁ + P₂ +…..+ P_n =1 .

Пример: Стрелок имеет 4 патрона и стреляет в цель до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины X – числа использованных патронов:

X	1	2	3	4
P	0,8	0,16	0,032	0,008

P(X=1) = 0,8 , A = {попадание при одном выстреле} .

P(X=2) = P(A*A) = P(A)*P(A) = 0,2*0,8 = 0,16 ,

P(X=3) = P(A*A*A) = P(A)*P(A)* P(A) = 0,2*0,2*0,8 = 0,032 ,

P(X=4) = 1 – (0,8+0,16+0,032) = 0,008 .

2.3. Биноминальное распределение.

Пусть проводятся n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти или нет. В каждом испытании вероятность свершения события А равна p , а вероятность непоявления события А равна q=1-p.

Рассмотрим случайную величину X – число появлений события А в n испытаниях.

Данная случайная величина имеет следующий закон распределения:

X	0	1	2	3	….	n
P	qn	Cn1*p*q(n-1)	Cn2*p2*q(n-2)	Cn3*p3*q(n-3)	….	pn

Вероятности вычисляются по формуле Бернулли

P_k = P_n^k (А)= C_n^k*p^k*q^(n-k) , P₁ = P(X=0) = C_n⁰*p⁰*q⁽ⁿ⁾ = q⁽ⁿ⁾ ,……, P_n = pⁿ .

Закон распределения вероятностей, для которого вероятность вычислена по формуле Бернулли, называется биноминальным.

Пример: Монета подбрасывается 2 раза. Составить закон распределения случайной величины X, где X – число выпаданий орла.

А = {выпадание орла при одном подбрасывании}.

X	0	1	2
P	1/4	1/2	1/4

P₀ =P(X=0) = P₂⁰ (А)= C₂⁰*(1/2)⁰*(1/2) ^(2-0) = 1/4 ,

P₁ = P₂¹ (А)= C₂¹*(1/2)¹*(1/2)¹ = 2*1/2*1/2 = 1/2 ,

P₂ = P₂² (А)= C₂²*(1/2)²*(1/2)⁰ = 1*(1/2)²*(1/2)⁰ =1/4 .

2.4. Распределение Пуассона.

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p. Для определения вероятности того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет k раз используется формула Бернулли.

Если число испытаний n велико, то используется приближенная формула Лапласа.

Если же число испытаний n велико, а вероятность свершения события А мала, то эту формулу использовать нецелесообразно (точность мала). В этом случае целесообразнее использовать формулу Пуассона, которая применяется в случае, когда

 = n*p  10 .

По формуле Бернулли вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А происходит k раз:

P_n^k(A) = C_n^k*p^k*(1-p)^(n-k) , т.к. p*n =  , то p= /n и

n!

P_n^k(A) = -------------- * p^k*(1-p)^(n-k) =

k!*(n-k)!

n*(n-1)*(n-2)*…..*(n-k+1)  ^k  ^{(n- k)}

= -------------------------------------- * ------ * 1 - --- ,

k! n n

где  = n*p .

Будем предполагать, что среднее число появлений А остается постоянным. Т.к. число испытаний у нас велико, то вычислим предел при n , стремящемся к бесконечности.

 ^k 1 2 k 1  ^{- k}

lim P_n^k(A) = ---- * lim 1* 1- --- * 1- --- * ….* 1- ---- + --- * 1 - --- *

n k ! n n n n n n

 n  ^k  ⁿ  ^-k ^k

* 1 - --- = --- * lim 1 - --- * 1 - --- = ---- * e^- * 1 ,

n k! n n n k!

^k*e ^(-)

P_n^k(A)  ------------ , где  = n*p  10 .

k !

Закон распределения, вероятность для которого рассчитывается по данной формуле, именуется закон Пуассона.

Пример: Завод отправил на базу 5 тысяч качественных изделий. Найти вероятность того, что на базу поступят 3 бракованных изделия. Вероятность того, что изделие повредится = 0,0002.

n = 5000, p = 0,0002 ,  = n*p = 1 < 10 .

³ * e ^(-1) 1

P³₅₀₀₀ (A)  ------------- = --------- = 0,06 .

3 ! 6 * e