1.5. Геометрические вероятности.
Чтобы избежать недостатка классического определения вероятностей, состоящего в том, что оно неприменимо при испытаниях с бесконечным числом исходов, вводят понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в заданную область, на заданный отрезок.
Пусть отрезок l является частью отрезка L . На отрезок L наугад ставят точку. Вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна его длине и не зависит от расположения отрезка на большом отрезке L.
длина l
Вероятность попадания точки на отрезок l P = ------------- .
Длина L
Аналогично вводится геометрическая вероятность для плоских фигур. Пусть фигура g является частью фигуры G. Тогда
площадь g
вероятность попадания точки в область фигуры g P = ------------------
площадь G
Пример: В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств. Поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени Т. Моменты поступления сигналов не зависят друг от друга. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментом поступления сигналов меньше t. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за время Т, если каждое из устройств пошлет по сигналу.
Решение: Обозначим через x, y моменты поступления сигналов, при этом:
0 x T, 0 y T .
y
y=x+t
C B y=x
T y=x-t
O
A x
T
Областью G является квадрат OABC. Сигнализатор сработает,
если x-y<t при x y, и
если y-x<t при x < y.
Область g будет задана:
y > x - t , при x y,
y < x + t , при x < y.
Тогда по определению
T2 – (T – t)2
P = --------------- .
T2
1.6. Условные вероятности.
Случайным событием мы называем событие, которое может произойти либо не произойти. Если при этом существуют некоторые дополнительные условия, то при вычислении вероятности накладываются дополнительные ограничения и вероятность при этом называется условной (иначе безусловной).
Например, требуется вычислить вероятность события А, но при условии, что событие В уже произошло.
Пример: В ящике 3 белых и 3 черных шара. Из ящика извлекают 2 шара. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар:
А = {первый шар черный}
В = {второй шар белый}. При извлечении второго шара в ящике всего пять шаров, при этом три из них белых, поэтому
PA(B) = 3/5 .
P(A*B)
Иначе вероятность можно вычислить: PA(B) =------------ (без доказательства).
P(A)
Проверим на примере ( при этом примем во внимание, что общее число исходов равно числу размещений из шести по два):
P(A) = 3/6 = 1/2; P(A*B) = m/n , n=A62 = 6!/4! = 30, m=3*3 = 9,
P(A*B) = 9/30 = 3/10, исходя из этого:
3/10
PA(B) = --------- = 3/5 .
1/2
1.7.Теорема умножения.
Теорема: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло.
P(A*B) = P(A)* PA(B) или
P(A*B) = P(B)* PB(A) .
Из теоремы следует:
P(A)* PA(B) = P(B)* PB(A) .
Следствие: Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности свершения одного из них на условные вероятности всех оставшихся, причем вероятности последующих событий вычисляются в предположении, что все предыдущие события уже произошли.
P(А1*А2*А3*….*Аn) = P(A1)*PA1(A2)*PA1A2(A3)*….*PA1A2A3…An-1(An) .
Пример: В корзине 5 белых, 4черных и 3 синих шара. Событие состоит в том, что из корзины наугад извлекают 1 шар без возврата. Найти вероятность последовательности событий, которая состоит в том, что при первом испытании извлечен белый шар, при втором – черный, при третьем – синий.
А = {б.} , В = {ч.} , С = {син.} .
P(ABC) = P(A)*PA(B)*PAB(C) = 5/12 * 4/11 * 3/10 = 1/22