3.7. Вероятностный смысл плотности распределения.
Пусть непрерывная случайная величина X имеет функцию распределения F(x).
F(x+x) – F(x) P(x<X<x+x)
f(x) = F’ (x) = lim ------------------------ = lim ----------------------
x 0 x x 0 x
Получили, что предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение из интервала (x, x + x) к длине этого интервала при x стремящемся к нулю, равен плотности распределения вероятности, вычисленной в точке x.
F(x+x) – F(x) d(F(x)) = F’(x)*x = f(x)*x, т.о. вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значение из интервала (x, x+x) примерно равна произведению плотности распределения вероятности на длину данного интервала. Геометрически это равенство можно истолковать таким образом: вероятность того, что случайная величина принимает значение из интервала от x до x+x равна площади прямоугольника (фигуры) с высотой f(x) и шириной x.
y
f(x)
x
a x
x+x
b
3.8.Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Все определения числовых характеристик для ДСВ распространяются и на непрерывные случайные величины. Пусть непрерывная случайная величина Х принимает все свои возможные значения из интервала (a;b)
Интервал (a;b) разобьем на n интервалов, длины которых x1, x2,,xn .
В каждом из этих интервалов выберем произвольные точки x1, x2,,xn .
Составим сумму произведений возможных значений xi на вероятность попадания в соответствующий интервал
n
S = xi*f(xi)*xi .
i=1
Тогда M(X) непрерывной случайной величины будет равно (аналог M(X) для ДСВ)
n
M(X) = lim xi*f(xi)*xi ,
n i=1
а это есть не что иное, как интегральная сумма на отрезке [a;b] для функции f(x):
b
M(X) = x*f(x)*dx .
a
Дисперсия непрерывной случайной величины:
b
D(X) = M(X – M(X))2 = (x – M(X))2*f(x)*dx .
a
С реднее квадратическое отклонение (x) = D(x) .
Все свойства доказанные для числовых характеристик ДСВ сохраняются и для непрерывных случайных величин. Для непрерывных случайных величин (НСВ) вводятся также понятия центральных и начальных моментов.
3.9. Равномерное распределение.
Определение: Плотности распределения НСВ называются законами распределения.
Определение: Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения вероятностей сохраняет постоянное значение.
Найдем плотность равномерного распределения f(x):
f(x)
если x a или x > b, f(x) = 0
е
сли
a< x
b ,
f(x)
= C , C – const . С
x
a b
Так как
b 0,
x
a
f(x)*dx = 1 , то f(x) = 1 / (b-a) a<x<b .
a 0, x b
Т.к.
=
=
, получаем
C = 1 / (b-a) .
Вычислим числовые характеристики для равномерного распределения:
M(X)
=
,
D(X)
=
=
.
(x)=
.