2.9. Формула для вычисления дисперсии.

Теорема: Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X² и квадратом математического ожидания случайной величины X.

D(X) = M(X²) – M²(X)

Доказательство: D(X) = M(X-M(X))² = M(X²-2*X*M(X)+M²(X))=

= M(X²)-2*M(X*M(X))+M(M²(X)) = M(X²) – 2*M(X)*M(X) + M²(X) =

= M(X²) – M²(X), что и требовалось доказать.

Пример: Вычислить дисперсию следующей случайной величины:

X	2	3	5		X2	4	9	25
P	0,1	0,6	0,3		P	0,1	0,6	0,3

M(X) = 2*0,1+3*0,6+5*0,3 = 3,5 , M(X²) = 4*0,1+9*0,6+25*0,3 = 13,3 ,

D(X) = M(X²) – M²(X) = 13,3 – (3,5)² = 1,05 .

2.10. Свойства дисперсии.

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

D( C ) = 0 , C = const .

Доказательство: D( C ) = M(C – M( C ) )² = M(0) = 0 .

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии.

D( C*X) = C²*D(X) .

Доказательство:

D( C*X) = M(C*X – M( C*X ) )² = C² *M(X – M(X ) )² = C²*D(X) .

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий.

D(X+Y) = D(X) + D(Y),

где X,Y –независимые случайные величины.

Доказательство:

D(X+Y) = M(X+Y) ² – M²(X+Y) = M(X²+2*X*Y +Y²) –(M(X)+M(Y)) ² =

= M(X²)+2*M(X)*M(Y)+M(Y²)-M²(X) - 2*M(X)*M(Y) - M²(Y) =

= M(X²) -M²(X) + M(Y²) - M²(Y) = D(X) + D(Y) .

2.11. Дисперсия числа появлений событий в независимых испытаниях.

Теорема: Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в каждом испытании.

D(X) = n*p*(1-p) .

Доказательство: Рассмотрим случайную величину X – число появлений события А в n независимых испытаниях.

X = X ₁ + X ₂ + … + X _n , где

X ₁ – число появлений события А в первом испытании, X ₂ – во втором, …., X _n – в n-ном испытании.

В соответствии с последним свойством

D(X) = D(X ₁) + D(X ₂) +…..+ D(X _n) .

Вычислим дисперсию для каждой случайной величины. Рассчитаем закон распределения для первой случайной величины.

D(X ₁) = M(X ₁²) – M²(X ₁) = p – p² = p*(1-p) , то M(X ₁²) = p , M(X ₁) = p .

X 1	0	1
P	1-p	p

Все остальные случайные величины имеют такие же дисперсии, тогда

D(X) = n*p*(1-p) , что и требовалось доказать.

2.12. Среднее квадратическое отклонение.

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения служит среднее квадратическое отклонение.

Определение: Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии данной случайной величины.

 (X) =  D(X) .

Пример:

X	2	3	10
P	0,1	0,4	0,5

Вычислим среднее квадратическое отклонение.

Сначала найдем дисперсию: D(X) = M(X²) – M²(X) , M(X) = 6,4 .

Построим закон распределения для X² :

X2	4	9	100
P	0,1	0,4	0,5

Определим M(X²) = 0,1*4+0,4*9+0,5*100 = 54 , D(X) = 54 – (6,4)² = 13,04 ,

 (X) =  13,04  3,6 .