1.Основные понятия и закономерности теории вероятностЕй.
1.1.Элементы комбинаторики.
При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, обладающие тем или иным свойством, и располагать эти элементы в определенном порядке. В этих задачах речь идет о тех или иных комбинациях элементов. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, изучающий эти задачи называется комбинаторикой.
Определение:
Сочетаниями из n (различных) элементов по k элементов называют комбинации, составленные из данных n элементов по k элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
n!
Cnk = ------------
k!*(n-k)!
Пример: Дано множество {a,b,c} . Составить сочетания по 2 элемента.
3!
C32 : ab, bc, ac ; C32 = ----------- = 3 - их количество
2!*1!
Пример: В ящике 20 шаров: 12 белых, остальные черные. Сколькими способами можно отобрать 2 белых щара? 2 черных шара? 1 черный и 1 белый шар?
12! 11*12 8! 8*7
1) C122 = ------------- = ---------- = 66 ; 2) C82 = ------------ = ---------- = 28 ;
2!*10! 2 2!*6! 2
12! 8!
3) C121 * С81 = --------- * ----------- = 12*8 = 96 .
1!*11! 1!*7!
Определение:
Размещениями из n различных элементов по k элементов называют комбинации, составленные из данных n элементов по k элементов, которые различаются между собой либо самими элементами, либо их порядком.
n!
Ank = ------------
(n-k)!
Пример: Составить для множества {a,b,c} размещения по два элемента и определить их количество.
ab, ac, bc 3!
A32 : ba, ca, cb ; A32 = --------- = 6 - их количество.
1!
Пример : Сколько различных 3-х значных чисел можно составить из множества цифр {1, 2, 3, 4, 5} без повторений?
5!
А53 = ------- = 60 .
(5 – 3)!
Определение:
Перестановками из n различных элементов называют множества из данных n элементов, каждое из которых отличается от другого порядком элементов.
Pn = n!
Пример: Составить для множества {a,b,c} перестановки и определить их количество:
P3 = 3! = 6 : abc, bca, cba, bac, cab, acb.
1.2. Основные понятия теории вероятностей.
Основным понятием теории вероятности является понятие случайного события.
Случайным событием будем называть событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.
Теория вероятностей изучает закономерности, которым подчиняются случайные события.
Определение: Опыт, эксперимент, наблюдение, явление в теории вероятностей называют испытанием.
Примеры испытаний в теории вероятностей – подбрасывание монеты, выстрел по мишени и т.д..
Определение: Результат, исход испытания, называют событием.
События обозначают буквами: А, В, С, ….
Примеры: А = {выпадание орла} ; В = {выпадание решки}.
Классификация событий.
Определение: Событие называется достоверным, если оно неизбежно произойдет при данном испытании.
Пример: Событие C = {выпадание числа от 1 до 6} при подбрасывании игральной кости.
Определение: Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример: Выпадание «орла» или «решки» при подбрасывании монеты.
О
пределение:
Два события А и В называют противоположными,
если в данном испытании они несовместны
и одно из них обязательно происходит
(обозначают А и
А ).
Пример: При выстреле по мишени противоположны:
А = {попадание} и А = {промах}.
Определение: Суммой двух событий “А” и “В” называют событие “С”, состоящее в наступлении или события “А”, или события “В”.
Пример: По мишени стреляют два стрелка одновременно.
А = {попадает первый стрелок},
В = {попадает второй стрелок},
С = А+В = {попадает в мишень хотя бы один из стрелков}.
Определение: Произведением двух событий “А” и “В” называют событие “С”, состоящее в том, что события “А” и “В” произойдут одновременно.
Пример: С = А*В = {попадают в мишень и первый и второй стрелок}.
Определение: Относительной частотой случайного события называют отношение числа m появлений события к общему числу n проведенных одинаковых испытаний.
m
P*(A)
= .
n
Пример: Проводится 6 серий выстрелов. Относительная частота события А = {попадание в мишень}:
в первой серии испытаний P*1(A) = 4/10,
во второй P*2(A) = 8/15,
в третьей P*3(A) = 13/25,
в четвертой P*4(A) = 27/50,
в пятой P*5(A) = 51/100,
в шестой P*6(A) = 74/150.
Опыт показывает, что относительная частота событий стремится к некоторому числу P. Это число P в дальнейшем будем называть вероятностью события A. Для рассмотренного примера серий выстрелов P*(A)1/2.