Нормальный закон распределения случайной величины
Нормальное распределение случайной величины является следствием воздействия на эту величину большого числа равнозначных факторов. В теории надежности оно используется для расчета показателей надежности изделий в период постепенных отказов из-за износа и старения.
Рис. 1.2. Плотность нормального распределения.
Плотность распределения величины Т при ее нормальном распределении выражается соотношением:
где , Mt – среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание величины Т соответственно. Случайной величиной Т, рассматриваемой в теории надежности обычно является наработка до отказа или несущая способность.
Функция распределения величины Т при ее нормальном распределении имеет вид:
Вычисление f(t), F(t) осуществляют с помощью таблиц, в которых приводятся значения соответственно f0(x) и F0(x) для нормированного нормального распределения. Нормированное нормальное распределение – это нормальное распределение, при котором =1; М=0. Поэтому формулы для плотности распределения и функции распределения имеют в этом случае следующий вид:.
Если в этих формулах сделать подстановку x=(t–Mt)/, то тогда F0(x)=F(t),а f0(x)/=f(t). Поэтому для определения f(t), F(t) по таблицам сначала необходимо определить значение х (это значение называется квантилью нормированного нормального распределения) по формуле x=(t–Mt)/, затем по соответствующим таблицам определяются f0(x) и F0(x). Значения F(t), f(t) вычисляются по формулам F(t)=F0(x) и f(t) = f0(x)/. Значения F0(x) и f0(x) в таблицах приводятся для х0. Для х<0 F0(x) и f0(x) определяются по формулам F0(–x)=1–F0(x); f0(–x)=f0(x).
Распределение суммы независимых случайных величин U=X+Y+Z, называемое композицией распределений, при нормальном распределении слагаемых также является нормальным распределением.
Математическое ожидание и дисперсия для композиции соответственно равны:
Mu=Mx+My+Mz; Du=Dx+ Dy+Dz ,
где Mx, My, Mz – математические ожидания случайных величин X, Y, Z; Dx; Dy; Dz – дисперсии тех же величин.
Логарифмически нормальный закон распределения случайной величины
Логарифмически нормальное распределение – это распределение случайной величины, логарифм которой распределен по нормальному закону. В теории надежности такое распределение используют для расчета показателей надежности изделий в период наступления усталости материала и в период между отказами.
Рис. 1.3. Плотность логарифмически нормального распределения.
Плотность распределения в этом случае описывается соотношением:
Параметры и s определяют по результатам испытаний.
Плотность распределения, функцию распределения можно определить по таблицам для нормированного нормального распределения, вычисляя квантиль по формуле x=(lnt–)/s.
Математическое ожидание:
Экспоненциальный закон распределения случайной величины
Экспоненциальный закон распределения, называемый также основным законом надежности, используется для описания надежности изделия в период его нормальной эксплуатации, когда постепенные отказы еще не проявились и в изделии возникают только внезапные отказы. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и потому имеют постоянную интенсивность . Экспоненциальный закон в теории надежности нашел широкое применение, так как он прост для практического использования.
Плотность распределения в этом случае описывается соотношением:
Функция распределения:
Функция распределения равна вероятности отказа Q(t) изделия в интервале времени (наработки) [0, t).
Вероятность безотказной работы:
Математическое ожидание М и среднее квадратическое отклонение:
