Случайные величины, их свойства и характеристики

В расчетах надежности многие параметры рассматриваются как случайные величины. Например, рассеяние ресурсов по критерию усталости (оцениваемое отношением наибольшего ресурса к наименьшему) для подшипников достигает 40, для зубчатых передач – 10...15. Это вызвано тем, что факторы, влияющие на рассчитываемые параметры, носят случайный характер.

Относительная частота и вероятность появления события

Относительная частота (частость) появления события A равна:

P^*(A)=m/N,

где m– число появлений события A при проведении N испытаний.

С увеличением числа испытаний относительная частота появления события A стремится к определенной величине. Эта величина называется вероятностью случайного события A и обозначается P(A).

При большом числе испытаний

P(A) P^*(A).

Теорема сложения вероятностей

В теории вероятности суммой A+B событий A и B называют событие, заключающееся в том, что произошло по крайней мере одно из событий: A или B.

События могут быть совместными и несовместными. Совместные события могут произойти одновременно. Несовместные – не могут.

Теорема сложения вероятностей: вероятность суммы n событий A₁, A₂,... A_n равна:

где A_iA_j – произведение событий A_i и A_j. Произведением событий A_i и A_j. называют событие, заключающееся в том, что произошли оба события: и A_i и A_j.

Вероятность суммы n несовместных событий A₁, A₂,... A_n, равна:

Теорема умножения вероятностей

События могут быть независимыми и зависимыми.

Событие А называют независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В. Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А зависит от того, произошло ли событие В.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).

Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения n событий A₁, A₂,... A_n равна:

Р(А₁А₂...А_n)= Р(А₁)Р(А₂/A₁)Р(А₃/A₁A₂)...P(A_n/A₁A₂...A_n–1).

Вероятность произведения n независимых событий A₁, A₂,... A_n событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(А₁А₂...А_n)= Р(А₁)Р(А₂)...P(A_n).

Характеристики случайных величин

Для каждого значения x случайной величины X существует вероятность P(X<x) того, что X меньше x. Зависимость F(x)= P(X<x) называется функцией распределения или функцией вероятности случайной величины X. Функция F(x) в пределах изменения случайной величины изменяется от 0 до 1.

Если случайной величиной X является наработка до отказа, то функция распределения этой величины равна вероятности возникновения отказа Q(x) в течение наработки x:

F(x) = P(X<x) = Q(x).

Вероятность безотказной работы P(x), т.е. вероятность P(Xx) того, что наработка X до отказа больше или равна значению x:

Р(x) = P(Xx) = 1 – Q(x) = 1 – F(x),

Производная от функции распределения F(x) по переменной x называется плотностью распределения f(x) случайной величины X:

В теории надежности величину f(x) называют плотностью вероятности. Площадь под кривой f(x) на заданном интервале значений случайной величины равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал.

Значения характеристик, полученные по результатам испытаний или эксплуатации, называют статистическими оценками.

Основной характеристикой случайной величины X является математическое ожидание M_x, величины X. С увеличением числа опытов среднее значение случайной величины стремится к ее математическому ожиданию. Для дискретной случайной величины ее среднее значение определяется по формуле:

или ,

где x_i – значение величины X при i-ом наблюдении; N – общее число наблюдений; g_j – число одинаковых значений x_j; Z – число отличающихся друг от друга значений x_j случайной величины X.

Математическое ожидание для непрерывных величин (вероятностная трактовка) определяется по формуле:

а для дискретных величин (статистическая трактовка) по формуле:

где р_j – вероятность появления значения x_j.

Дисперсия (рассеяние) D_x случайной величины – это величина, характеризующая отклонение случайной величины x от ее математического ожидания M_x. Она равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. В вероятностной трактовке:

В статистической трактовке:

,

где x_i; – значение величины X при i-ом наблюдении; N – общее число наблюдений; р_j – вероятность появления значения x_j; Z – число отличающихся друг от друга значений x_j случайной величины X.

Оценка дисперсии случайной величины – среднее значение квадрата отклонения этой величины от ее среднего значения:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Другая характеристика рассеяния случайной величины – среднее квадратическое отклонение _x – имеет ту же размерность, что и случайная величина. Она равна корню квадратному из дисперсии:

Для оценки рассеяния с помощью безразмерной величины используют коэффициент вариации:

Квантилью называют значение х случайной величины Х, соответствующее заданной вероятности P(Х<x).

Квантиль, соответствующая вероятности 0,5 называется медианой. Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам.

Модой случайной величины X называют наиболее вероятное значение этой величины.