3. Приложения определенного интеграЛа

3.1. Вычисление площадей плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной

сверху графиком функции у = f ( x ) (f ( x ) ≥ 0), слева и

справа соответственно прямыми x = a и x = b, снизу –

отрезком [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле

S = .

Если f ( x ) ≤ 0 при х [a; b], то S = .

Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = f ( x ) и

у = g( x ), причем f ( x ) ≥ g( x ), прямыми x = a и x = b

вычисляется по формуле

S = .

Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой х = f ( у ),

п рямыми у = с, у = d и отрезком [с; d] оси Оу. Тогда площадь

э той трапеции вычисляется по формуле

S = .

Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями , y(t) ≥ 0, t [t₁; t₂], прямыми x = a и x = b и отрезком [a; b] оси Ох, то ее площадь вычисляется по формуле

S = ,

где t₁ и t₂ определяются из равенств a = x(t₁), b = x(t₂).

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой

заданной в полярных координатах уравнением r = r ( φ ) и двумя

лучами φ = α и φ = β, вычисляется по формуле

S = .

Замечание. Площадь всякой плоской фигуры может быть составлена из

площадей криволинейных трапеций (секторов).

Пример 1. Н айти площадь фигуры, ограниченной кривой y = sin x, прямыми х = – π, х = , у = 0.

S = – + = –cos + cos –

– cos = 1 – + 1 + 1 – + 1 = ( 8 – – ).

Задание для самостоятельного решения

В ычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1) у = х², у = – 9х.

2) y = arccos x, x = – 1, x = 0, y = 0.

3) y = tg ² x, x = π/4, y = 0.

Пример 2. Н айти площадь фигуры, ограниченной линиями y = –x² + 5х – 6 и y = x² – 6.

Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого

решим систему уравнений . Находим: х₁ = 0, х₂ = 2,5. Т.о.

S = = = = .

Задание для самостоятельного решения

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1) у = sin x, у = 2sin х, x = 0, у = 7/4 π.

2) y = x², x = 1/ x², y = 0, x = 0, x = 3.

3) y ² = 2x + 1, y = x – 1.

4) y = – x² + 3x + 6, y = x² – x + 1.

5) y = x², y = 2x, y = x.

6) y = x² – 2x + 3, y = 3x – 1.

7) y = x³ – 3x, y = x.

П ример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y² = x³, y = 8, х = 0.

S = = = = .

И скомую площадь можно найти как разность прямоугольника ОАВС и трапеции ОВС:

S = 4 ∙ 8 – = 32 – = 32 – = .

Задание для самостоятельного решения

В ычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1) у = arcsin x, πx = 2y.

2) xy = 8, y = 8x³, y = 27.

3) y ² = (4 – x) ³, x = 0.

4) (y – x) ² = x³, x = 1.

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой x = a cos³t , y = a sin³t.

Найдем сначала четвертую часть искомой площади:

S = = = =

= –a² = 3a² = 3a² = 3a² =

= a² = a² =

= a² = a² = a² ∙ = .

Значит, S = .

П ример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» r = a sin3φ.

S = = a² = =

= = = . Значит, S = .

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = a (1 – cosφ) и

окружностью r = a.

Найдем точки пересечения кардиоиды с окружностью. Для этого решим сис-

тему уравнений и получим две точки: А₁ и А₂ .

Половина искомой площади равна сумме площадей криволинейных секторов

Om А₁O и OА₁n O. В первом секторе полярный угол изменяется от 0 до π/2, а

во втором – от π/2 до π. Т.о.

S = S₁ + S₂ = + = a² + a² =

= + = + = .