Интегрирование по частям
Пусть производные функций u(x) и v(x) существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место формула
=
-
.
(1)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям определенного интеграла.
Н
екоторые
типы интегралов, которые удобно вычислять
методом интегрирования по частям:
Примеры.
11.
=
||
||
=
–
=
+
е
–
0 –
=
=
+
е
–
–
е
+
+ 1 =
.
Задание для самостоятельного решения
12.
=
||
||
=
–
=
–
ln
=
–
ln2
=
.
Задание для самостоятельного решения
13.
=
||
||
= –
+
=
0 +
=
= |
||
=
–
=
+
=
–
.
Задание для самостоятельного решения
Несобственные интегралы
2.1. Интегралы с конечными пределами (I рода)
Несобственные интегралы с бесконечными пределами (или I рода), т.е. интегралы, у которых хотя бы одним из пределов интегрирования является бесконечность, определяются следующим образом:
,
,
+
,
где с – произвольное число (обычно с = 0).
Несобственные интегралы I рода называются сходящимися, если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях представленных выше равенств. Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то эти интегралы называются расходящимися.
Некоторые признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов I рода
1.
Признак
сравнения.
Если на промежутке [a;
+∞) непрерывные функции f
(x)
и g
(x)
удовлетворяют условию 0 ≤ f
(x)
≤ g
(x),
то из сходимости интеграла
следует
сходимость интеграла
,
а из расходимости интеграла
следует
расходимость интеграла
.
2.
Предельный
признак сравнения.
Если при х
[a;
+∞), f
(x)
> 0, g
(x)
> 0 и существует конечный предел
= k
≠
,
то интегралы
и
сходятся
или расходятся одновременно.
3.
Если сходится интеграл
, то сходится и интеграл
,
который в этом случае называется
абсолютно
сходящимся.
Пример 1.
Вычислить
несобственный интеграл
или установить его расходимость.
По определению
несобственного интеграла I
рода имеем:
=
=
=
=
+
= 1. Исходный
интеграл сходится и равен 1.
Замечание.
Интеграл
сходится
при p
> 1 и
расходится при
p
≤ 1.
Следовательно,
его можно
использовать в качестве интеграла
в признаках
сравнения.
Задание для самостоятельного решения
Найти значения несобственных интегралов или установить их расходимость:
Пример 2. Исследовать
сходимость несобственного интеграла
.
По определению
несобственного интеграла I
рода имеем:
=
=
= ||
||
=
= 0 –
a
sin
a
+ 1 –
cos
a.
Интеграл расходится, т.к. a sin a и cos a не существуют.
Задание для самостоятельного решения
Исследовать
сходимость несобственного интеграла:
.
Пример 3. Вычислить
несобственный интеграл
.
Подынтегральная
функция f
(x)=
определена и
непрерывна на всей числовой оси. Кроме
того, она является четной. Следовательно.
= 2
= 2 ∙
= 2 ∙
arctg
=
= 2
∙
= π.
Исходный интеграл сходится и равен
π.
Задание для самостоятельного решения
Найти значение
несобственного интеграла или установить
его расходимость:
Пример 4. Исследовать
на сходимость интеграл
.
Здесь f
(x)
=
> 0 при х
[1;
+∞), при этом
>
.
Но интеграл
расходится (см.
замечание к признакам сравнения: р =
<
1). Следовательно, по признаку сравнения
сходится и интеграл от «меньшей»
функции, т.е.
исходный интеграл.
Задание для самостоятельного решения
Найти значение
несобственного интеграла или установить
его расходимость:
Пример 5. Исследовать
на сходимость интеграл
.
Здесь f
(x)
=
> 0 при х
[1;
+∞). Рассмотрим
функцию g
(x)
=
.
Вычислим
= =
=
≠
.
По предельному признаку сравнения,
т.к. интеграл
=
=
сходится (см.
замечание к признакам сравнения: р = 5
> 1 ), то по предельному признаку
сравнения сходится и
исходный интеграл.
Задание для самостоятельного решения
Исследовать
сходимость несобственного интеграла:
