Показательная форма комплексного числа

Используя формулу Эйлера , получим показательную форму комплексного числа:

, ( 5 )

где – модуль, – аргумент комплексного числа.

Пример.

Даны комплексные числа: , . Изобразить числа на комплексной плоскости, найти модуль и аргумент, записать в тригонометрической и показательной форме.

Р ешение (рис. 2) у

5,5 z₃

z₆

z₅

z₂ z₁

–5,5 0 1 6 x

z₈

z₇

–6 z₄

Рис. 2.

1. Найдем модуль и аргумент для комплексного числа . Подставляя модуль и аргумент в формулы (4) и (5), получим

.

2. Для имеем:

Следовательно:

.

3. Для имеем:

Следовательно:

.

4. Для имеем:

Следовательно:

.

5. Для имеем:

Следовательно:

.

6. Для имеем:

Следовательно:

.

7. Для имеем:

Следовательно:

.

8. Для имеем:

Следовательно:

.

Задача 2

Определим основные действия над комплексными числами и , заданными в алгебраической форме.

Суммой двух комплексных чисел называется комплексное число , т.е. при сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно.

Разностью комплексных чисел называется комплексное число , которое удовлетворяет равенству . Очевидно: . При нахождении разности из действительной и мнимой частей уменьшаемого z₁ вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого z₂.

Произведением комплексных чисел называется комплексное число . Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что .

Таким образом:

.

Частным от деления называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет уравнению . Для частного имеет место формула:

Чтобы разделить число z₁ на z₂ , следует числитель и знаменатель дроби умножить на число , сопряженное знаменателю.

Возведение комплексного числа z в степень n – это нахождение произведения n сомножителей, каждый из которых равен z, т.е. . При возведении в степень n используется правило возведения в степень двучлена , в общем случае применяется формула бинома Ньютона:

, где .

.

Пример

Даны комплексные числа .

Вычислить .

Решение