Экспоненциальная модель Джелинского−Моранды

Экспоненциальная модель Джелинского−Моранды [18]−[20].

Данная модель является частным случаем модели Шумана. Согласно этой модели. интенсивность появления ошибок пропорциональна числу остаточных ошибок:

где − коэффициент пропорциональности;

− интервал между обнаруженными ошибками.

Вероятность безотказной работы

При формула (10.48) совпадает с (10.42). В работе [21] показано, что при последовательном наблюдении ошибок в моменты можно получить оценки максимального правдоподобия для параметров . Для этого надо решить систему уравнений

Асимптотические оценки дисперсии и коэффициента корреляции (при больших ) определяются с помощью формул

Чтобы получить численные значения этих величин, надо всюду заменить и их оценками.

Геометрическая модель Моранды

Геометрическая модель Моранды [22].

Интенсивность появления ошибок принимает форму геометрической прогрессии:

где D и К − константы; i − число обнаруженных ошибок.

Эту модель рекомендуется применять в случае небольшой длительности отладки. Другие показатели надежности находят по формулам

где п − число полных временных интервалов между ошибками.

Модификация геометрической модели предполагает, что в каждом интервале тестирования обнаруживается несколько ошибок. Тогда

где − накопленное к началу j-гo интервала число ошибок; т − число полных временных интервалов.

Модель Шика−Волвертона

Модель Шика−Волвертона [23], [24].

Эта модель является модификацией экспоненциальной модели Джелинского-Моранды. Модель основана на допущении того, что интенсивность обнаружения ошибок пропорциональна числу остаточных ошибок и длительности i-го интервала отладки:

то есть с течением времени возрастает линейно. Это соответствует рэлеевскому распределению времени между соседними обнаруженными ошибками. Поэтому модель называют также рэлеевской моделью Шумана или рэлеевской моделью Джелинского−Моранды. Параметр рэлеевского распределения

где п − число полных временных интервалов. Тогда вероятность безотказной работы и средняя наработка между обнаруженными ошибками

Сравнительный анализ моделей [25] показывает, что геометрическая модель Моранды и модель Шика−Волвертона дают устойчиво завышенные оценки числа остаточных ошибок, то есть оценки консервативные или пессимистические. Для крупномасштабных разработок программ или проектов с продолжительным периодом отладки наилучший прогноз числа остаточных ошибок дает модель Шика−Волвертона.

Модель Липова

Модель Липова [26] (обобщение моделей Джелинского−Моранды и Шика− Волвертона).

Эта модель является смешанной экспоненциально-рэлеевской, то есть содержит в себе допущения и экспоненциальной модели Джелинского-Моранды, и рэлеевской модели Шика-Волвертона. Интенсивность обнаружения ошибок пропорциональна числу ошибок, остающихся по истечении (i-1)-го интервала времени, суммарному времени, уже затраченному на тестирование к началу текущего интервала, и среднему времени поиска ошибок в текущем интервале времени:

где − интервал времени между обнаруженными ошибками.

Здесь имеется и еще одно обобщение: допускается возможность возникновения на рассматриваемом интервале более одной ошибки. Причем исправление ошибок производится лишь по истечении интервала времени, на котором они возникли:

где − число ошибок, возникших на j-м интервале. Из (10.51) находим вероятность безотказной работы и среднее время между отказами:

где Ф(х) − интеграл Лапласа;

и − параметры модели.

Параметры модифицированных рэлеевской и смешанной моделей оцениваются с помощью метода максимального правдоподобия. Однако в этом случае функция правдоподобия несколько отличается от рассмотренной при выводе уравнений (10.49), так как теперь наблюдаемой величиной является число ошибок, обнаруживаемых в заданном интервале времени, а не время ожидания каждой ошибки. Предполагается, что обнаруженные на определенном интервале времени ошибки устраняются перед результирующим прогоном. Тогда уравнения максимального правдоподобия имеют вид

где для модели (10.50) и для модели (10.51);

М − общее число временных интервалов.

Коэффициенты А и В находят с помощью формул

для рэлеевской модели и с помощью формул

для смешанной модели. Здесь − продолжительность временного интервала, в котором наблюдается ошибок. Заметим, что при уравнения (10.52) приобретают вид (10.49), тогда М=К, что соответствует в (10.49),