5. Содержание программы курса по темам

Тема 1. Основные определения и понятия: теории вероятностей, примеры.

Основные формулы вычисления вероятности: классическая формула, статистическая формула, геометрические вероятности, примеры. Комбинаторика, комбинации без повторений и комбинации с повторениями, примеры.

Тема 2. Алгебра событий. Сложение случайных событий и теоремы о сложении вероятностей. Вероятности противоположных событий и случайных событий, образующих полную группу. Умножение случайных событий и их вероятностей. Следствия из теорем сложения и умножения вероятностей случайных событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Тема 3. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа, формулы приближённого вычисления вероятностей: формула Пуассона, геометрическая формула.

Тема 4. Случайные величины и их законы распределения вероятностей. Функция распределения и плотность распределения вероятностей для дискретных и непрерывных случайных величин.

Тема 5. Числовые характеристики случайных величин: Начальные и центральные моменты, связь между ними, коэффициент симметрии, эксцесс.

Тема 6. Характеристическая функция случайной величины, как производящая функция начальных моментов. Логарифмическая характеристическая функция, как производящая функция семиинвариантов. Связь семиинвариантов с моментами.

Тема 7. Закон больших чисел. Неравенство Чебышёва, теоремы: Чебышёва, Бернулли, Пуассона. Основная предельная теорема.

Тема 8. Задачи математической статистики. Способы отбора наблюдаемых данных. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Оценки неизвестных параметров известных распределений: метод моментов и метод максимального правдоподобия.

Тема 9. Теория статистических гипотез. Основные понятия и примеры. Ошибки первого и второго рода. Статистические критерии проверки гипотез. Критерий согласия Пирсона.

6. Планы практических занятий

1. Задачи на классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Гипергеометрическая формула вычисления вероятности. Геометрически вероятности. Задача о встрече.

2. Задачи на основные теоремы теории вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного случайного события. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

3. Повторные события, формула Бернулли, приближённые формулы: формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Лапласа. Геометрическая формула вычисления вероятностей редких событий в большом числе экспериментов.

4. Случайные величины и их числовые характеристики. Основные дискретные и непрерывные распределения. Функция распределения, плотность распределения и характеристическая функция. Начальные и центральные моменты, семиинварианты.

5. Статистические оценки, точечные оценки параметров известных распределений, метод моментов и метод максимального правдоподобия. Интервальные оценки параметров известных распределений.

6. Статистические критерии проверки гипотез, критерий согласия Пирсона и расчёт теоретических частот для нормального распределения. Применение критерия Пирсона для других известных распределений.