5.4 Методи обчислення дисперсії.
Дисперсія або середній квадрат відхилення займає особливе місце в статистичному аналізі. Вона має важливе значення при вивченні варіації, а також є важливим і невід”ємним елементом інших статистичних методів (вибіркового, дисперсійного, кореляційно-регресійного).
Дисперсія є базою для обчислення середнього квадратичного відхилення.
і залежно від типу наявних даних може бути простою та зваженою
Для незгрупованих даних використовується проста форма дисперсії.
.
Для згрупованих – зважена форма.
.
Дисперсія – величина неіменована.
При застосуванні обчислювальної техніки зручніше визначати дисперсію за формулою
,
де
- середній квадрат значень ознаки;
- квадрат
середньої величини.
Цю формулу для незгрупованих даних можна розписати таким чином:
,
а для згрупованих
.
Дисперсія альтернативної ознаки визначається за формулою
,
де
- показники, що відображають структуру
сукупності.
Очевидно, що при
відсутності варіації
.
Максимальне значення дисперсії
альтернативної ознаки становить 0,25,
коли
,
тобто, коли одиниці сукупності порівну
розподілені між її двома значеннями
“так” і “ні”.
У випадку, коли елементи сукупності розподіляються на три та більше групи, оцінка варіації являє собою узагальнюючу дисперсію
,
де
- частка
j-групи;
m – кількість груп.
5.5 Характеристики форми розподілу.
Через різноманітність статистичних сукупностей є багато різних форм співвідношення частот і значень варіюючої ознаки.
За своєю формою розподіли поділяють на такі:
- одновершинні;
- двовершинні;
- багатовершинні.
Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності, про поєднання в ній груп із різними рівнями ознаки.
Розподіли якісно однорідних сукупностей – одновершинні. Вони поділяються на такі види:
І)- симетричні;
- асиметричні (скошені);
ІІ)- гостровершинні;
- плосковершинні.
І). У симетричному розподілі рівновіддалені від центру значення ознаки мають однакові частоти.
В асиметричному – вершина розподілу зміщена.
Напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини. Якщо вершина зміщена вліво, то це правостороння асиметрія, і навпаки. Асиметрія виникає внаслідок обмеженої варіації в одному напрямку або під впливом домінуючої причини розвитку, яка веде до зміщення центру розподілу.
У симетричному розподілі характеристики центру розподілу мають однакові значення.
.
В асиметричному при правосторонній асиметрії
,
а при лівосторонній асиметрії
.
Мірою асиметрії є коефіцієнт асиметрії А, який може бути визначений як стандартизовані відхилення або через стандартизовані моменти.
Стандартизовані відхилення - відхилення між середньою арифметичною та модою чи медіаною. Вони характеризують напрям і міру скошеності розподілу та визначаються як
або
.
Очевидно, що у симетричному розподілі А=0, при правосторонній асиметрії А>0 , при лівосторонній А<0.
ІІ) Гостровершинність розподілу відображає скупченість значень ознаки навколо середньої величини та називається ексцесом. На практиці в одному одновершинному розподілі поєднуються симетричний та гостровершинний, або скошений і плосковершинний.
Узагальнюючою характеристикою розподілу є моменти. За їх допомогою можна описати будь який розподіл.
Момент розподілу – це середня арифметична к-ступеня відхилень х-а.
Залежно від величини а моменти поділяють на такі види:
- первинні (а=0);
- центральні
(
);
- умовні (а=const).
Ступінь к визначає порядок моменту.
Первинний момент
першого порядку є середньою арифметичною
,
другого порядку – середній квадрат
значень ознаки
.
Центральний момент
другого порядку характеризує варіацію
,
третього – асиметрію, четвертого –
ексцес.
Центральні моменти
та
для згрупованих даних визначаються за
формулами
та
.
У симетричному розподілі =0. Чим більша скошеність ряду розподілу, тим більший .
Для характеристики скошеності, тобто асиметрії, використовують стандартизований момент
При правосторонній асиметрії А>0, при лівосторонній А<0. Правосторонню асиметрію через це називають додатньою, а лівосторонню – від”ємною. При А<0,25 асиметрія вважається низькою, при А<0,5 = середньою, при А>0,5 – високою.
Для вимірювання ексцесу використовують стандартизований момент четвертого порядку
.
У симетричному розподілі Е=3. При гостровершинному розподілі Е>3, при плосковершинному - Е<3. У цих коефіцієнтах відображається концентрація елементів сукупності.
Оцінка нерівномірності
розподілу значень ознаки між окремими
складовими сукупностей грунтується на
порівнянні часток двох розподілів за
кількістю елементів сукупності
та за обсягом значень ознаки
.
Якщо розподіл значень ознаки рівномірний, то
Відхилення часток свідчить про певну нерівномірність розподілу. Вона може бути виміряна за допомогою таких коефіцієнтів:
- коефіцієнт концентрації
;
.
Він є узагальнюючою характеристикою відхилення розподілу від нормального. При рівномірному розподілі К=0, при повній концентрації К=1.
Чим більший ступінь концентрації, тим більший коефіцієнт К;
- коефіцієн локалізації
.
Розраховується
для кожної j-складової
сукупності. При рівномірному розподілі
всі
.
У випадку коецентрації значень у
j-складовій
і навпаки.
і
- ефективний засіб вимірювання
диференціації сукупності за даними
інтервальних рядів з нерівними інтервалами
та за даними атрибутивних рядів.