Лекция 6. Общие определения, методы описания и классификация случайных процессов

Цель лекции: Дать понятие случайного процесса, рассмотреть классификацию случайных процессов и методов их описания.

• ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.

Основные понятия и термины.

1. Основные процессы

2. Реализация случайного процесса (Траектория СП) выборочная функция

3. Случайная функция ξ(t)

4. Детерминирование функции

5. Соединение поля (Многомерные сигналы)

На практике часть встречается со случайными величинами которая зависит от времени и потому в процессе одного наблюдения (эксперсимента) изменяются случайным образом с течением времени.

Например: осциллограмма собственных шумов приемника амплитуды и фаза принимаемого сигнала, прошедшего, через турболентную атмосферу.

Определение 48. Случайной функцией называется такая функция, которая в результате опыта может принять то или иное заранее неизвестное значение. Если аргументом случайной функции является время, то случайная функция называется случайным процессом.

Случайный процесс характеризуется тем, что какая-либо физическая величина изменяется в некотором пространстве, причем эти изменения управляются вероятностными законами.

Определение 49. Конкретный вид случайного процесса, (фотография, осциллограмма и т.д.) которые он приобретает в результате опыта называется реализацией случайного процесса или траектория случайного процесса, выборочная функция.

Если проводится несколько опытов, то имеем семейство реализаций. Таким образом, понятие случайной функции несколько шире, чем случайный процесс.

Для формального обозначения зависимость случайного процесса от аргументов применяются случайные функции.

Обозначаем: Случайную функцию буквами греческого алфавита ξ, η, v, w и т.д.

Аргумент случайной функции (СФ) обозначаем буквами латинского алфавита t, r и т.д.

ξ(t), η(t), η(r,t)

Определение 50. Случайной функцией ξ(t) называется такая функция, которая при любом фиксированном значении аргумента является случайной величиной.

Рис. 1.1.

Рис.

Это означает, что при неизменных условиях опыта значения ξ(t) при t =const в реализациях полностью идентичных систем будут различны.

Определение 51. Детерминированной функцией называется функция, значение которой однозначно определяются значениями аргументов независимо от реализаций.

Случайная функция может зависит от нескольких аргументов. Например, скорость ветра зависит от времени и пространственных координат.

При записи СФ обычно указывается область ее задания, т.е. области возможных изменений аргументов.

Случайной (стохастический, вероятностный) характер изменения СФ. В радиотехнике это, ток, напряжение, напряженность э.м.п. и др.

Определение 52. Если случайная функция зависит от нескольких переменных, то такая функция получила название случайных полей или многомерных сигналов.

ξ(х, у, z, t); ξ (r,t) в качестве переменных выступают координаты пространства и времени. Различают скалярные или векторные случайные поля. Количество переменных в принципе может быть любым, на практике рассматривают случаи с двумя, тремя и четырьмя переменными.

• КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Основные понятия и термины.

1. Скалярный случайный процесс.

2. Векторный случайный процесс

3. Скалярное случайное поле

Введем следующую классификацию:

Определение 53. Скалярный случайный процесс ξ(t) – случайный процесс, область значений которого есть множество в пространстве действительных чисел.

Определение 54. Векторный случайный процесс ξ(t) – случайный процесс, область значений которого есть множество в соответствующим координатном пространстве.

Определение 55. Скалярное случайное поле ξ(r,t) – случайный процесс, область значений которого есть множество действительных чисел в соответствующем координатном пространстве.

Определение 56. Векторное случайное поле ξ(r,t) – случайный процесс, представленный в виде компонента являющихся скалярными полями.

Под r – понимается П - мерный вектор со своими проекциями в избранной системе координат. В прямоугольной системе координат ξ(r,t) = ξ(х, у, z, t). Случайные процессы и соответствующие им случайные функции ξ(t) можно классифицировать по разным признакам

1. По характеру реализации х(t), т.е. в зависимости от возможных значений, принимаемых случайной функцией ξ(t) и аргументом t.

2. По виду введенных иных отдельных вероятностных характеристик, которые описывают случайный процесс.

В зависимости от того, непрерывное или дискретное множество значений принимают случайная величина ξ(t) и ее параметр t, различают пять основных видов случайных процессов.

1. Дискретная случайная последовательность дискретный процесс с дискретным временем).

Рис. 2.1.

Область значений и область определения – дискретные множества время t пробежит дискретный ряд значений t₁ t₂ t₃ … t_i, а случайная величина х_{i =} ξ (t_i) может принимать лишь дискретные значения х₀; х₁ . . . х_в …х_к

Пример подбрасывание монеты, радиотелеграфия, радиолокация и т.д. Процессы могут быть получены квантованием по уровню и времени.

2. Случайная последовательность (непрерывный процесс с дискретным временем).

Рис. 2.2.

Область определения ξ(t) дискретное множество, область значений непрерывное множество. Случайная величина ξ(t_i) – может принимать бесконечное число значений. Временные выборки из непрерывного случайного процесса.

3. Дискретный (разрывной) случайный процесс (дискретный процесс с непрерывным временем)

Рис. 2.3.

Случайный процесс у которого область значения дискретное множество х₁… х_к, а область определения непрерывное множество квантование случайного процесса по уровню t [0; Т] – непрерывна.

4. Непрерывный случайный процесс – случайная область значений и область определения – непрерывные множества.

Рис. 2.4.

5. Случайный точечный процесс (поток) – представляет собой последовательность точек, расположенных случайным образом, например, на оси времени точки могут соответствовать различным событиям. Например, моментам времени наступления отказов, поступление заявок на обслуживание аппаратуры и т.д.

Рис. 2.5.

Помимо основных могут быть и смешанные виды случайных процессов. Классификация случайных полей более разнообразна.