Лекция 5. Гауссовские случайные величины нормальный закон распределения

Цель лекции: Дать определения гауссовским случайным величинам, определить их основные характеристики

• ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАУССОВСКОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Основные понятия и термины.

1. Гауссовская случайная величина, нормальный закон распределения

2. Функция распределения гауссовской случайной величины.

Изучение различных явлений показывает, что многие случайные величины, например, такие как ошибки при измерениях, боковое отклонение и отклонение по дальности точки попадания от некоторого центра при стрельбе и т.д. имеют плотность распределения вероятности р(х), которая выражается следующей формулой:

р(х) = [5.1.]

Определение 46. Гауссовской случайной величиной называется величина имеющая плотность вероятности определенной формулой. В этом случае говорят, что случайная величина подчинена нормальному закону (или закону Гаусса).

Для формулы [5.1.] – m = М{ξ} – математическое ожидание

D = М{(ξ-m)²} – дисперсия случайной величины

Напомним, что для одномерной случайной величины

m_ξ = М{ξ} = [5.2.]

D = М{(ξ-m_ξ)²} = [5.3.]

и учитывая, что среднее квадратическое отклонение равно

= [5.4.]

Выражение [5.1.] можно записать в следующем виде

р(х) = [5.5.]

Графический нормальный закон распределения имеет вид

Рис. 5.1.

Точка х = m_ξ является центром распределения вероятностей или центром рассеивания. Мода и медиана случайной величины совпадают х_с = х_m. При m_ξ в [5.5.] = 0 имеем плотность распределения симметричную относительно оси 0у.

р(х) = [5.6.]

Рис. 5.2.

Функция распределения гауссовской случайной величины имеет вид (х-m)

F(х) = [5.7.]

где

Ф(х) = - интеграл вероятности [5.8.]

Рис. 5.3.

Вероятность того, что гауссовская случайная величина будет заключена в полуинтервале [а ; в] определяется как

Р{а ≤ξ≤в} = F(в) - F(а) = Ф - Ф [5.9.]

где Ф (.) определяется по формуле [5.8.]. При вычислении вероятности того, что значение случайной величины попадет в интервал (а-l; а+ l) при mξ = 0 имеем

Р ( -l<ξ<l) = Ф [5.10.]

• ДИСПЕРСИЯ И СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ПОЛУЧЕННОЙ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ

Пусть плотность распределения случайной величины ξ дается формулой

р (х) = [5.11.]

при этом m_ξ =0

Тогда дисперсия определяется как

D {ξ} = dx [5.12.]

Сделаем замену переменного

Тогда

D {ξ} = dx = dx

проинтегрировав по частям получаем окончательно

D {ξ} = → {ξ}− {ξ} [5.13.]

Дисперсия характеризует рассеивание значений случайной величины относительно центра рассеивания. Рассмотрим, как значение дисперсии влияет на форму кривых случайных величин распределенной по нормальному закону

Рис. 5.4.

При увеличении максимум плотности вероятности уменьшается и рассеивание случайной величины увеличивается.

Раздел Ш. Случайные процессы