2. Первообразная и интеграл

Понятия первообразной и интеграла лежат в основе интегрального исчисления, которое наряду с дифференциальным исчислением формирует предмет математического анализа. Если дифференциальное исчисление создавалось в связи с изучением понятия производной и применением его к исследованию функции, то интегральное исчисление в качестве своего истока имеет так называемый метод исчерпывания, разработанный античными математиками. Этот метод возник при решении задач определения площадей плоских фигур и объемов трехмерных тел с помощью аппроксимации объектов ступенчатыми, простейшими фигурами и телами – прямоугольниками, параллелепипедами, цилиндрами и т.п.

2.1. Первообразная

Наиболее распространенным определением первообразной функции является следующее.

Функция F(x), определенная на некотором промежутке действительной оси, называется первообразной для действительной функции f(x), определенной на том же промежутке, если F'(x) = f(x) для всех х из этого промежутка.

Достаточным условием существования первообразной у заданной функции f является непрерывность этой функции.

У заданной на промежутке функции f любые две первообразные отличаются на постоянную, т.е. если F'₁(x) = f(x) и F'₂(x) = f(x), то F₁(x) – F₂(x) =C = const для всех х из промежутка определения функции f. 

Последнее обстоятельство служит основанием для введения понятия неопределенного интеграла.

2.2. Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл от заданной на некотором промежутке действительной оси действительной функции f(x) определяется как множество всех ее первообразных на этом промежутке и обозначается как

.

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а переменная х – переменной интегрирования.

Если F(x) – некоторая первообразная функции f(x) , то поскольку все первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину, то пишут

,

где С – произвольная константа.

Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием; эта операция обратна к операции дифференцирования:

.

Операция интегрирования, аналогично операции дифференцирования, линейна, т.е. если на некотором промежутке существуют неопределенные интегралы

и ,

то для любых действительных чисел ₁ и ₂ на том же промежутке существует интеграл

.

Задача фактического вычисления неопределенного интеграла осложняется тем, что неопределенный интеграл от элементарной функции (или их суперпозиции) не является, вообще говоря, элементарной функцией (или их суперпозицией). Тем не менее, известны классы функций, для которых оказывается возможным выразить их неопределенные интегралы через элементарные функции. Простейшим примером такого рода служат основные элементарные функции, приведенные в разделе 1.4 в связи с операцией дифференцирования.

Таблица неопределенных интегралов для основных элементарных функций.

1) , а  -1;

2) ;

3) , а  0, а  1;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) , |x|  |a|;

12) (когда под корнем стоит x² - a² , предполагается, что |x|  |a|).

Заметим, что приведенные выше формулы справедливы, если их знаменатели не обращаются в 0. Приведем некоторые общие приемы интегрирования.

Метод неопределенных коэффициентов. Очень часто при интегрировании дробно-рациональных функций, т.е. функций в виде дробей, числители и знаменатели которых суть полиномы от переменной х, полезным оказывается прием разложения этой функции на так называемые элементарные дроби.

Поясним этот прием на конкретном примере.

Пример 2.1.

Требуется вычислить интеграл от дробно-рациональной функции .

Подинтегральная функция с помощью неопределенных коэффициентов может быть преобразована следующим образом:

.

Для определения коэффициентов А, В, С и D приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях х в числителях левой и правой дробей. Имеем систему из 4 уравнений для 4 неизвестных:

откуда А = С = 0, В = 1/2, D = -1/2. Исходный интеграл превращается в сумму двух более простых интегралов, которые берутся в соответствии с правилами 9) и 10) таблицы неопределенных интегралов:



Интегрирование по частям. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы на некотором промежутке и интеграл на этом промежутке существует, то на нем существует и интеграл , причем справедливо равенство

.

Пример 2.2.

Методом интегрирования по частям вычислить интеграл .

Применяя правило интегрирования по частям два раза, получим

=-x² cosx + 2x sinx + 2cosx + C

Интегрирование с заменой переменной. Если для функций f(x) и x = (t), которые определены на некоторых промежутках и на них имеет смысл суперпозиция (f _ )(t), т.е. сложное отображение f [(t)], функция (t) дифференцируема и существует интеграл , то существует и интеграл

.

Пример 2.3.

Вычислить интеграл

Заменой переменной ln(x + 2) =t x= - 2, x' =  сводим исходный интеграл к сумме более простых:

= .

Каждый из трех интегралов вычисляем методом интегрирования по частям:

;

;

.

Окончательно получаем, возвращаясь к переменной х:

