3.2. Функциональные ряды

Функциональный ряд называется сходящимся на множестве X, xX, если при любом фиксированном x₀  X сходится числовой ряд , т.е. если при любом фиксированном x₀  X существует конечный предел . В этом случае определена функция s(x) на множестве Х, которая называется суммой функционального ряда

Множество Х, в каждой точке которого ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда. Ясно, что Х  Х', где Х' – область определения членов ряда.

Пример 3.8.

Облаcтью сходимости ряда является вся действительная прямая (-, +), поскольку этот ряд сходится абсолютно при любом действительном х (убедиться самостоятельно, применив признак Д'Аламбера). Суммой этого ряда является функция e^x, т.е.

.

Ряд сходится только при х = 0; для любого иного действительного х этот ряд расходится. Следовательно, область сходимости ряда вырождается в точку {0}.

На функциональные ряды нельзя непосредственно перенести свойства конечных сумм действительных функций. Так, конечная сумма непрерывных функций также непрерывна; для функциональных рядов это не так. Рассмотрим последовательность непрерывных на отрезке [0, 1] функций x^n-1(x-1), n = 1, 2, … и составленный из них функциональный ряд

.

Этот ряд сходится в любой точке отрезка [0, 1], причем

т.е. сумма ряда s(x)является функцией, разрывной в точке х = 1. Для сохранения свойств функций – членов функционального ряда – требуется более сильное условие, чем просто сходимость ряда. Таким условием является равномерная сходимость ряда.

Функциональный ряд сходящийся на Х, х  Х, сходится на Х равномерно, если для любого  > 0 существует номер N такой, что для всех n > N и всех х  Х выполняется неравенство

|s_n(x) –s(x)| <,

где s_n(x) – частичная сумма ряда порядка n, а s(x) – сумма ряда.

Формальная запись:  N n x n > N  х Х  |s_n(x) –s(x)| <

Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Для того, чтобы функциональный ряд

, х  Х

равномерно сходился на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для любого  > 0 существовал такой номер N, что для всех n > N, целых p  0 и х  Х выполнялось неравенство

Формальная запись:  N n p x n > N  p  0  х Х  

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Если для функционального ряда , имеющего область сходимости Х, х  Х, существует числовой сходящийся ряд такой, что для всех х  Х

, n = 1, 2, …,

то исходный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно на множестве Х.

Пример 3.9.

Рассмотрим функциональный ряд . Поскольку

, n = 1, 2, …

для всех действительных х, а числовой ряд сходится, то исходный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на всей действительной оси -   х  + 

Свойства равномерно сходящихся рядов

Если функциональные ряды и равномерно сходятся на множестве Х, а  и  – произвольные числа, то ряд

также равномерно сходится на Х. 

Если функциональный ряд , составленный из непрерывных на множестве Х функций f_n(x), n = 1, 2, … , равномерно сходится на Х, то его сумма непрерывна на Х, т. е. для любой точки х₀  Х возможен почленный переход к пределу:



Если члены функционального ряда интегрируемы по Риману на отрезке [a, b], а сам ряд равномерно сходится на [a, b], то его сумма также интегрируема по Риману на [a, b] и для любого х  [a, b] имеет место равенство

,

причем ряд, стоящий в правой части равенства, сходится равномерно на [a, b]. Иными словами, равномерно сходящийся на [a, b] ряд можно интегрировать почленно. 

Если члены функционального ряда непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b], сам ряд сходится в некоторой точке этого отрезка, а функциональный ряд, составленный из производных f'_n(x), n = 1, 2, … , т.е. равномерно сходится на отрезке [a, b], то исходный ряд также равномерно сходится на [a, b], а его сумма непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] и

,

т.е. исходный функциональный ряд можно дифференцировать почленно. 

Таким образом, наличие свойства равномерной сходимости у рядов позволяет перенести на эти ряды некоторые правила действия с конечными суммами – возможность почленно интегрировать и дифференцировать.