Устойчивость резонаторов

Условие устойчивости сферического резонатора можно получить с помощью геометрической оптики. Рассмотрим луч, выходящий из точки P₀, принадлежащей некоторой плоскости β внутри резонатора. После отражения на зеркалах 2 и 1 этот луч пересечет плоскость β в точке P₁. Если r₀ и r₁ – координаты точек P₀ и P₁ относительно оси резонатора, а r₀¹ и r₁¹ – углы, которые эти лучи образуют с осью резонатора, тогда в соответствии с формулой **) можно написать следующее соотношение:

,

где ABCD-матрица – это матрица преобразования лучей, соответствующая полному проходу резонатора. Луч, выходящий из точки P₁(r₁, r₁¹) после двух отражений, пересечет плоскость β в точке P₂(r₂, r₂¹), координаты которой определяются выражением

Таким образом, после n полных проходов луча через резонатор координаты точки P_n(r_n, r_n¹) запишутся в виде:

При условии и A+D ≠ 2

, (3.9)

где , α определяется соотношением

.

При этом возможны два случая. Если

, (3.10)

то гиперболический косинус переходит в тригонометрический и анализ (3.9) показывает, что в этом случае при прохождении луча через систему он фокусируется. Такая система называется устойчивой. Если условие (3.10) не выполняется, то луч при прохождении системы все более удаляется от оси. Такая система называется неустойчивой.

Чтобы найти условие устойчивости сферического резонатора, мы должны определить соответствующую ему ABCD-матрицу. Если плоскость β расположить непосредственно перед зеркалом 1, то результирующая матрица будет равна произведению следующих четырех матриц. Первая из них описывает распространение луча от зеркала 1 до зеркала 2, вторая – отражение от зеркала 2, третья - распространение луча от зеркала 2 до зеркала 1, четвертая - отражение от зеркала 1.

Перемножение матриц дает

,

Это соотношение преобразуется к виду

С учетом (3.10), условие устойчивости резонатора запишется так:

. (3.11)

Рассмотрим различные виды открытых резонаторов и исследуем их на устойчивость.

1. Если оба зеркала резонатора плоские (R₁ =R₂= ∞), то система устойчива в точке.

2. Если одно зеркало плоское (R₁= ∞ или R₂= ∞), а другое сферическое вогнутое, то условие устойчивости будет иметь вид:

,

т.е. система устойчива в области значений L/R_1,2<1. Оптимальный режим соответствует середине области L=R_1,2/2.

3. Если оба зеркала сферические вогнутые, то система устойчива, если

и ,

т.е. центры обоих зеркал лежат вне резонатора. Система устойчива и при

,

т.е. когда центры лежат внутри резонатора, но при выполнении дополнительного условия

.

Система неустойчива, если

, но ,

или

, но

4. Если в резонаторе одно зеркало (R₁) вогнутое, а другое (R₂) – выпуклое, то условие в этом случае будет иметь вид:

.

Для устойчивой работы системы необходимо, чтобы

и ,

или .

Рассматриваемая система будет неустойчива, если

,

а также если , при условии .

5. Если оба зеркала выпуклые, то система неустойчива при любых значениях R₁, R₂ и L.

Условие устойчивости (3.11) удобно представить графически в плоскости g₁, g₂, где , , см. рис.

На этом рисунке устойчивым резонаторам соответствуют заштрихованные области. Особенно интересный класс сферических резонаторов соответствует точкам прямой линии АС, образующей с осями g₁ и g₂ угол 45⁰. Эта прямая отвечает симметричным резонаторам (с зеркалами одинаковой кривизны). В частном случае укажем на концентрический (А), конфокальный (В) и плоский (С) резонаторы. Эти резонаторы лежат на границе, разделяющей области устойчивости и неустойчивости. Концентрический резонатор имеет следующие недостатки: 1) очень малый размер пятна в центре резонатора, что может приводить к нежелательным эффектам в лазерах большой мощности, и 2) высокую чувствительность к несоосности зеркал. Поэтому концентрические резонаторы применяются очень редко. В конфокальном резонаторе размер пятна также слишком мал, чтобы можно было эффективно использовать все поперечное сечение лазерной среды. Поэтому конфокальные резонаторы применяются также редко. Высокую эффективность использования поперечного сечения можно получить в плоскопараллельных резонаторах. Однако эти резонаторы также чувствительны к несоосности зеркал. По упомянутым выше причинам, наиболее широко применяемые резонаторы образованы либо двумя вогнутыми зеркалами с большими радиусами кривизны (превышающими длину резонатора в 2-10 раз), либо плоским и вогнутым зеркалом с большим радиусом кривизны. Эти резонаторы дают несколько больший размер пятна, чем конфокальный резонатор, и обладают умеренной устойчивостью к несоосности зеркал. Таким резонаторам на диаграмме соответствует область устойчивости вблизи точки С.

Время жизни фотона и добротность резонатора

Попытаемся вычислить скорость релаксации энергии в резонаторе для определенной моды. Рассмотрим для простоты плоскопараллельный резонатор. Моду резонатора можно представить как суперпозицию падающей и отраженной волн. Введем обозначения: I₀ – начальная интенсивность падающей волны, R₁, R₂ – коэффициенты отражения по мощности двух зеркал, T_i – относительные внутренние потери за проход. Интенсивность I(t₁) после одного полного прохода в момент времени запишется в виде

Интенсивность после m проходов, т.е. в момент времени

,

равна

.

Если q(t) – полное число фотонов в резонаторе в момент времени t, то оно пропорционально интенсивности, т.е. . И тогда можно записать

,

где q₀ – начальное число фотонов в резонаторе. Следовательно, число фотонов в момент времени t_m равно:

.

Сравнение двух последних выражений показывает, что (с учетом )

.

Откуда находим

. (3.12)

Если предполагать, что экспоненциальная зависимость q(t_m) справедлива в любой момент времени t, то можно написать

,

здесь τ_с – время жизни фотона, определяемое выражением (3.12).

Например, R₁=R₂=R=0,98; T_i≈0, то из (*) получим τ_с=49,5L/c. Видно, что время жизни фотона много больше времени одного прохода резонатора. Если положить L=90 см и с=с₀, то получим t_T≈3 нс и τ_с≈150 нс.

При условии, что справедливо, временную зависимость электрического поля можно представить в виде . С помощью фурье-преобразования доказывается, что спектр мощности излучения имеет лоренцеву форму линии с полушириной

.

Следует отметить, что спектр излучения не совпадает со спектром пропускания. Однако расхождения между числовыми результатами совсем невелики. Одна из причин такого расхождения состоит в том, что было принято условие .

Добротность

Для любой резонансной системы Q=2π(запас. эн.)/(эн. тер. за цикл). Запасенная энергия qhν, теряемая , и имеем

,

с учетом находим

и, учитывая еще , получаем .

Для конкретных значений τ_с≈150 нс и ν=5·10¹⁴ Гц (λ=0,6мкм) Q=4,7·10⁸.

Глава 4. Режимы работы лазеров

Теория основывается на приближении скоростных уравнений. Соответствующие уравнения выводятся из условия баланса между скоростями изменения полного числа частиц и полного числа фотонов лазерного излучения. Такой подход дает простое и наглядное описание работы лазера.

Скоростные уравнения