Матричная формулировка геометрической оптики

Рассмотрим луч света, который проходит через обратимый линейный оптический элемент. Если луч света распространяется приблизительно вдоль оптической оси, то входной и выходной лучевые векторы на входной и выходной плоскостях z₁ и z₂ можно описать двумя параметрами: радиальным смещением h₁(z₁), h₂(z₂) от оси z и угловым смещением θ₁ θ₂.

В приближении параксиальных лучей угловые смещения θ предполагаются достаточно малыми, так что sinθ ≈ tgθ ≈ θ. В этом случае выходные и входные переменные связаны друг с другом линейным преобразованием.

Если положить и , то мы имеем следующие соотношения:

где A, B, C и D – постоянные, характеризующие данный оптический элемент. Поэтому естественно записать данные уравнения в матричном виде:

(3.1).

Матрица ABCD полностью характеризует данный оптический элемент в приближении параксиальных лучей. Если система симметрична, то

A=D,

если взаимна, то

Рассмотрим несколько примеров.

Свободное распространение луча на расстояние Δz=L в среде с показателем преломления n. Если входная и выходная плоскости расположены в непосредственной близости от данной среды, но в среде с показателем преломления 1, то

и матрица ABCD запишется в виде

2. Распространение луча через линзу с фокусным расстоянием f. Для тонкой линзы имеем

Второе соотношение получается из закона тонкой линзы: , с учетом того, что и . Используя , находим . Матрица в этом случае запишется в виде .

3. Отражение луча сферическим зеркалом с радиусом кривизны R.

В этом случае плоскости z₁ и z₂ выбираются таким образом, что они совпадают одна с другой и располагаются непосредственно перед зеркалом. С учетом направлений векторов r₁ r₂ лучевая матрица вогнутого зеркала с радиусом кривизны R (фокусным расстоянием ) совпадает с матрицей для положительной линзы с фокусным расстоянием f. Лучевая матрица запишется в виде

Следует указать, что определитель ABCD-матрицы в рассмотренных случаях равен единице. Это справедливо только тогда, когда показатели преломления на входной и выходной плоскостях одинаковы.

Полную ABCD-матрицу оптического элемента можно получить перемножением матриц элементарных оптических компонентов. Порядок, в котором матрицы располагаются в произведении, является обратным по отношению к порядку, в котором световой луч проходит соответствующие оптические элементы.

Плоскопараллельный резонатор

Рассмотрим прямоугольную полость с идеально проводящими стенками, полностью заполненную диэлектриком. Вычислим распределение стоячих электромагнитных волн, которое может существовать в этой полости. Согласно уравнениям Максвелла, напряженность электрического поля E(x,y,z,t) должна удовлетворять волновому уравнению

, (3.2)

где - оператор Лапласа, а с – скорость света в рассматриваемой среде. Кроме того, напряженность электрического поля должна удовлетворять следующему граничному условию на каждой стенке

,

где n – нормаль к поверхности рассматриваемой стенки. Это условие выражает тот факт, что тангенциальная компонента электрического поля должна обращаться в нуль на стенках полости.

Задача решается разделением переменных. Таким образом, записывая

(3.4)

и подставляя это выражение в (2.2), получаем

(3.5а)

, (3.5б)

где k – постоянная величина. Уравнение (2.5б) имеет общее решение

,

где А₀ и φ – произвольные постоянные величины, а ω=ck.

При гармоническом виде функции А(t), решение (2.4) соответствует определенной конфигурации стоячей волны электромагнитного поля внутри полости. Решение такого типа называется модой резонатора. Решения уравнения Гельмгольца (2.5а) с учетом граничных условий имеют вид:

,

где , , , а резонансные частоты даются выражением

(3.6)

Моды открытого резонатора с хорошей точностью описываются модами прямоугольного резонатора, для которых (l,m)<<n. Это можно аргументировать тем, что при (l,m)<<n волны распространяются под очень малыми углами к оси z. И можно ожидать, что отсутствие боковой поверхности не скажется заметным образом на этих модах. Резонансные частоты плоскопараллельного резонатора можно найти разложением (3.6) в ряд:

Из этого выражения можно получить разность частот между двумя продольными модами , или поперечными