Глава 1. Взаимодействие излучения с веществом

Теория излучения черного тела. Закон излучения Рэлея – Джинса

ρ_ν – спектральное распределение энергии, ρ- плотность энергии, . Формула Планка .

Вероятности переходов и правила отбора

Вероятности переходов

Важными характеристиками процессов испускания и поглощения являются вероятности переходов. Испускание может быть спонтанным и вынужденным, поглощение – всегда вынужденный процесс. Переходы с излучением между двумя заданными уровнями энергии, верхним E_i и нижним E_k, характеризуются вероятностью спонтанного испускания, вероятностью вынужденного испускания и вероятностью поглощения.

Пусть имеется совокупность одинаковых частиц, которые могут испускать и поглощать фотоны частоты ν=ν_ik= h^-1(E_i - E_k).

Число Z_ik^(сп) спонтанно испущенных за единицу времени фотонов

Коэффициент пропорциональности A_ik равен числу спонтанно испускаемых в единицу времени фотонов частоты ν в расчете на одну возбужденную частицу с энергией E_i. Это вероятность спонтанного излучения, или коэффициент Эйнштейна для спонтанного испускания.

Для вынужденного поглощения и испускания:

,

где - плотность излучения данной частоты, B_ki – коэффициент Эйнштейна для поглощения;

,

где B_ik - коэффициент Эйнштейна для вынужденного испускания.

Спонтанное испускание фотона может происходить в любом направлении, но вынужденное испускание происходит в направлении распространения падающего излучения. Поляризация при вынужденном испускании совпадает с поляризацией падающего излучения. Коэффициенты B_ki и B_ki связаны между собой очень просто:

,

где g_k и g_i – степени вырождения соответствующих уровней. Между коэффициентами Эйнштейна существует важное соотношение

.

Время жизни возбужденных состояний

Время жизни возбужденного состояния, одна из важнейших характеристик, определяющих пригодность вещества к использованию в качестве рабочего тела лазера, зависит от вероятности спонтанного испускания. Рассмотрим убыль частиц с верхнего уровня за счет спонтанного излучения:

Определяем продолжительность жизни в возбужденном состоянии как среднюю продолжительность нахождения в возбужденном состоянии. Тогда

В общем случае время жизни определяется через полную вероятность спонтанных переходов на все нижние уровни и является характеристикой уровня, а не отдельного перехода.

В реальных случаях верхний уровень теряет частицы и за счет безызлучательных переходов, и общее время жизни будет определяться из суммы скоростей процессов, опустошающих уровень, по формуле

Дипольное излучение

Поглощение и вынужденное излучение.

Вероятности поглощения и вынужденного излучения.

Рассмотрим в полуклассическом приближении для двухуровневой системы вероятности поглощения и вынужденного излучения. В данном контексте полуклассическое приближение предполагает, что атомная система квантована, а поле падающей волны описывается классически.

Пусть атомная система имеет два энергетических уровня с энергиями Е₁ (основной) и Е₂ (возбужденный) и соответствующими волновыми функциями:

,

Частота перехода определяется выражением . Предполагаем, что падающая волна монохроматическая, тогда поле E в точке расположения атома и что ω₀≈ω. В дальнейшем рассматривается электродипольное взаимодействие. Рассмотрим электрон в атоме, ответственный за переход 1→2. В классическом рассмотрении электродипольный момент , где r – радиус-вектор электрона относительно ядра. Энергия взаимодействия дипольного момента с волной

В квантовомеханическом подходе эта энергия рассматривается как гамильтониан взаимодействия Ĥ¹(t), который вводится в нестационарное уравнение Шредингера. Т.к. ω₀≈ω, этот гамильтониан приводит к переходу между состояниями 1 и 2.

Далее предполагается:

• длина волны падающего излучения намного больше размеров атома λ>>а (электродипольное приближение);

• время взаимодействия велико;

• вероятность перехода мала (применим метод нестационарной теории возмущений).

С учетом этих предположений вероятность поглощения имеет вид:

где δ – дельта-функция Дирака, – абсолютная величина комплексного вектора

.

U₁ и U₂ – стационарные собственные функции обоих состояний. Интегрирование производится по всему объему атома. Вектор - называют матричным элементом оператора электрического дипольного момента или электрическим дипольным моментом атома.

В основном состоянии Е₁ атомная волновая функция . Во время перехода 1→2 (t>0) волновая функция определяется выражением

,

где - вероятность нахождения атома в состоянии 1, - в состоянии 2. Причем

.

Электрический дипольный момент атома индуцирован электромагнитной волной, компонентой . Подстановка Ψ в , с учетом значений Ψ₁ и Ψ₂ дает

.

Знак * обозначает комплексное сопряжение и . В входит осциллирующий с частотой ω₀ член , который можно записать в виде

, где .

Во время перехода атом можно рассматривать как электрический диполь, осциллирующий с частотой ω₀, амплитуда которого пропорциональна вектору . Переход обусловлен взаимодействием момента с полем .

Для сопоставления теоретических измышлений с реальной ситуацией необходимо δ-функцию Дирака в выражении для заменить на . Это означает, что осциллирующий дипольный момент должен иметь потери. Заметим, что функция g_t центрирована в точке , имеет единичную площадь и конечную спектральную ширину. Тогда

.

С учетом значения плотности энергии падающей волны

Из следует, что μ₂₁= μ₁₂ и W₁₂= W₂₁.

Т.о. вероятности поглощения и вынужденного излучения равны друг другу.