Решение управленческих задач средствами параметрического линейного программирования

Ирина Леонидовна Корнилова

Надежда Николаевна Парамонова

Отпечатано с оригинал-макета. Формат 60х90. 1/16

Печ.л. 2,4. Тираж 100 экз. Заказ № от .11.05

Санкт-Петербургский государственный технологический институт

(Технический университет), ИК «Синтез»

198013, Санкт-Петербург, Московский пр., 26

* Построение таких моделей подробно рассмотрено, например, в [1, 3, 4].

* Графический способ решения задач линейного программирования подробно рассмотрен, например, в [1, 3, 4, 8]. В [1, 3, 4] рассматривается также построение графических иллюстраций с помощью Microsoft Excel.

* При работе в Microsoft Excel рекомендуется использовать для решения системы уравнений «Подбор параметра», как это было описано в [1-4] и в приложении А. Прочие расчеты также не рекомендуется осуществлять вручную (например, как показано в приложении Б).

* См. приложение А.

* Если воспользоваться формулой отрезка [1-4], то можно вывести общую формулу для любого оптимального плана Х* = k*A + (1 - k)*B = k*(4; 5) + (1 - k)* (8; -4) = (k*4 + (1 - k)* 8; k*5 + (1 - k)* (-4)) = (8 – 4k; 9k – 4), где k [0; 1]. Подставляя в полученную формулу различные значения k, можно получить различные точки на отрезке АВ. При k=0 и k=1 будут получены соответственно концы отрезка B и А. При k=0,5 будет получена середина отрезка АВ с координатами (8 – 4*0,5; 9*0,5 – 4) = (6; 0,5). При k=0,1 будет получена точка с координатами (8 – 4*0,1; 9*0,1 – 4) = (7,6; -3,1). Если найти эту последнюю точку на графике, становится видно, что она разбивает отрезок АВ в пропорции 9:1 (находится от точки В на расстоянии, равном ровно одной десятой длины всего отрезка). Таким образом, становится понятен смысл величины k, - она представляет собой ту долю длины отрезка, которая «отсчитывается» от его конца. Для оптимального плана может быть выведена и другая формула, если взять точку В в качестве начала, а точку А – в качестве конца. Но при подстановке в эту формулу различных значений k все равно будут получены точки на том же самом отрезке.

* Не следует думать, что это всегда так. Градиент может «двигаться» и против часовой стрелки, поэтому в каждой новой задаче необходимо это проверять.

* Симплекс-метод решения задачи линейного программирования рассмотрен, например, в [3, 4]. В предлагаемой форме симплексной таблицы в первом столбце указывается номер ограничения, во втором и третьем – соответственно обозначения базисных переменных в каждом ограничении и значения коэффициентов целевой функции при них. В верхней части таблицы над обозначениями всех переменных указаны коэффициенты целевой функции. Последняя строка таблицы соответствует критериальному ограничению. В столбце B находятся свободные члены ограничений, в остальных столбцах – коэффициенты (a_ij, b_i, c_j`, c<sub>j</sub>``, d, d``, <sub>j</sub>`, _j``- константы).

* Здесь и далее при представлении результатов вычислений в электронной таблице в первой строке и первом столбце указаны номера соответственно столбцов и строк Microsoft Excel (латинскими буквами для столбцов и арабскими цифрами для строк).

* Рассмотрим случай, когда таких чисел несколько. Предположим, что в третьей строке в столбце х₂ стоит не 2, а -2. Тогда отрицательных чисел – два: -2 и -1. Чтобы выбрать из них разрешающий элемент, следует рассмотреть коэффициенты критериальной строки в этих столбцах: это соответственно 1 в столбце х₂ и 6 в столбце х₄. Отношения этих коэффициентов к коэффициентам в разрешающей строке равны соответственно -1/2 и -6. Из них по модулю меньше -1/2 (1/2 < 6). Следовательно, в этом случае в качестве разрешающего следовало бы взять столбец х₂.

39