И.Л. Корнилова, Н.Н. Парамонова 1

ВВЕДЕНИЕ 4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. Решение управленческих задач средствами параметрического линейного программирования 5

1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ 5

2 ПРИБОРЫ И МАТЕРИАЛЫ 5

3 ОПИСАНИЕ РАБОТЫ 6

3.1 Задача параметрического линейного программирования с параметром в целевой функции 6

3.1.1 Графический способ решения 7

3.1.2 Симплекс-метод решения задачи 13

3.2 Задача параметрического линейного программирования с параметром в правых частях ограничений 19

3.2.1 Графический способ решения 20

3.2.2 Алгоритм двойственного симплекс-метода 27

3.2.3 Решение задачи симплекс-методом 28

3.3 Порядок выполнения работы 32

4 ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ 33

5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 33

ЛИТЕРАТУРА 34

34

ПРИЛОЖЕНИЕ А 35

(обязательное) 35

Использование надстройки «Подбор параметра» в Microsoft Excel 35

ПРИЛОЖЕНИЕ Б 37

(обязательное) 37

Примеры расчетов в Microsoft Excel 37

СОДЕРЖАНИЕ 38

Лабораторная работа. Решение управленческих задач средствами параметрического линейного программирования 4 38

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный технологический институт

(Технический университет)

Кафедра финансов и статистики

Кафедра менеджмента и маркетинга

И.Л. Корнилова, н.Н. Парамонова решение управленческих задач средствами параметрического линейного программирования

Методические указания

к лабораторной работе

Санкт-Петербург

2005

УДК 519.852

Корнилова И.Л., Парамонова Н.Н. Решение управленческих задач средствами параметрического линейного программирования: Метод. указания. СПб., СПбГТИ(ТУ), 2005. – 38 c.

В настоящих методических указаниях представлена лабораторная работа на тему «Решение управленческих задач средствами параметрического линейного программирования». Она посвящена изучению специальных задач линейного программирования, одного из основных разделов исследования операций. Описаны примеры постановки и способы решения задач параметрического линейного программирования с параметром в целевой функции и в правых частях ограничений. При решении задач используется универсальный пакет Microsoft Excel.

Методические указания предназначены для студентов II –V курсов специальностей 06.08.05 - «Экономика и управление на предприятии» и 06.11.00 - «Менеджмент организации»; и соответствуют рабочим программам дисциплин «Исследование систем управления» и «Экономико-математические методы». Также могут быть использованы для обучения студентов по другим дисциплинам, включающим теорию линейного программирования.

Рис. 12, табл. 18, библиогр. 8 назв.

Рецензент: Викуленко А.Е., д-р экон. наук, проф., заведующий кафедрой финансов и статистики СПбГТУ(ТИ),

Утверждены на заседании учебно-методической комиссии факультета экономики и менеджмента 22.09.05.

Рекомендованы к изданию РИСо СПбГТИ(ТУ).

Введение

Большое число разнообразных экономических ситуаций может быть смоделировано средствами параметрического линейного программирования.

Рассмотрим задачу линейного программирования в общем виде [1, 3- 8]:

(1)

где ;

x_j – переменные;

a_ij, b_i, c_j – константы;

n – число переменных;

m – число ограничений.

Пусть теперь значения a_ij, b_i, c_j в свою очередь зависят от параметра L, который может принимать значения на определенном промежутке: L[a; b]. Тогда можно записать, что

c_j = c_j`+ Lc_j``;

a_ij = a_ij`+ La_ij``;

b_i = b_i`+ Lb_i``;

Часто в качестве промежутка изменения параметра берут всю числовую ось, т.е. L]-; +[.

Задача линейного программирования, в которой целевая функция и ограничения зависят от некоторого параметра, называется задачей параметрического линейного программирования.

Решить задачу параметрического линейного программирования означает каждому значению параметра из промежутка его изменения поставить в соответствие оптимальный план и оптимум задачи либо указать причину неразрешимости. В общем случае компоненты оптимального плана и значение оптимума записываются в виде формул, содержащих параметр.

Примером такой задачи может быть задача производственного планирования, в которой выявлена линейная зависимость цен, удельных затрат и запасов ресурсов, например, от времени (либо выявлена такая зависимость хотя бы для некоторых из этих величин). На протяжении некоторого периода необходимо для любого момента знать оптимальный план выпуска продукции. В таком случае время будет представлять собой параметр, а рассматриваемый период - промежуток его изменения. Если поставить и решить эту задачу в виде задачи параметрического линейного программирования, в результате будет получено несколько временных промежутков, для каждого из которых будут выведены формулы для подсчета объемов выпуска каждого вида продукции и общей выручки. В результате, какой бы момент времени не был взят, достаточно определить, к какому промежутку он принадлежит, и подставить его в соответствующие формулы.

Общим принципом решения задач параметрического линейного программирования является следующий. Берется фиксированное значение параметра, и для него решают задачу обычным способом. В результате получают решение либо устанавливают причину неразрешимости задачи. Затем определяют, на каком промежутке может изменяться параметр, чтобы полученный результат оставался решением задачи, либо она оставалась неразрешимой по той же причине. После этого берут значение параметра за пределами найденного промежутка, и снова решают задачу. Так продолжается до тех пор, пока весь промежуток изменения параметра не будет заполнен более короткими промежутками, для каждого из которых известен результат решения задачи.

Таким образом, в настоящих методических указаниях представлена лабораторная работа на тему «Решение управленческих задач средствами параметрического линейного программирования». Методы построения и решения таких задач будут более подробно рассмотрены далее.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА. Решение управленческих задач средствами параметрического линейного программирования

1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучить теорию параметрического линейного программирования, научиться решать управленческие задачи параметрическими методами, с помощью моделей линейного программирования с параметром в целевой функции и в свободных членах ограничений.

2 ПРИБОРЫ И МАТЕРИАЛЫ

Для выполнения лабораторной работы необходим персональный компьютер, функционирующий под управлением операционной системы семейства Windows. Программное обеспечение экономических расчетов – универсальный пакет Microsoft Excel (средства электронной таблицы, «Мастер функций», «Мастер диаграмм», «Подбор параметра» и др.).

3 ОПИСАНИЕ РАБОТЫ

3.1 Задача параметрического линейного программирования с параметром в целевой функции

Задача параметрического линейного программирования с параметром в целевой функции имеет следующий вид:

(2)

где ;

x_j – переменные;

a_ij, b_i, c_j`, c_j`` - константы;

n – число переменных;

m – число ограничений;

L - параметр.

Например, построим модель следующей экономической ситуации^*. Кондитерская фабрика при производстве двух видов карамели - «Снежинка» и «Яблочная» - использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. В любой месяц это сырье имеется у нее в количествах соответственно 800 т, 600 т и 120 т. На выпуск 1 т «Снежинки» расходуется 0,8 т сахара, 0,2 т патоки и 0,01 т фруктового пюре, а на выпуск 1 т «Яблочной» - соответственно по 0,5 т, 0,4 т и 0,1 т этих видов сырья. Цена «Снежинки» в настоящее время составляет 108 тыс. руб. за тонну, а «Яблочной» - 140 тыс. руб. Каждый месяц «Снежинка» дорожает на 40 тыс. руб., а «Яблочная» - на 20 тыс. руб. Необходимо на любой момент времени найти план производства карамели, который даст наиболее высокую выручку.

Обозначим х₁ - производство карамели «Снежинка», т; х₂ - производство карамели «Яблочная», т. Время (в месяцах) в данной модели будет выступать в качестве параметра, обозначим его L.

Тогда математическую модель можно построить следующим образом:

m ax (108 + 40L)х₁ + (140 + 20L)х₂

0,8х₁ + 0,5х₂ 800

0,2х₁ + 0,4х₂ 600

0,01х₁ + 0,1х₂ 120

х_1,2 0

L[0;+∞]