Приведем примеры разложения правильной рациональной дроби на простейшие слагаемые, исходя из следующего правила: каждому некратному корню соответствует простейшая первого вида,

каждому кратному корню кратности k соответствует k-1 простейшая второго вида с убывающими степенями знаменателя и одна простейшая первого вида,

каждым двум некратным комплексным корням соответствует простейшая третьего вида.

Пример 9. Разложить на простейшие рациональную дробь .

Решение. Корни знаменателя: х₁ = -1 действительный некратный корень, и х₂ = 0 действительный кратный корень кратности 2. Следовательно

.

Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А, В₁ и В₂ приведем правую часть выражения к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены в числителе

Приравняем числители исходного и конечного выражений

.

Такое сооотношение возможно тогда и только тогда когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях х (если какая-то степень х отсутствует, то это значит, что коэффициент при ней равен нулю). Получим систему

Окончательно

Пример 10. Разложить на простейшие рациональную дробь .

Решение. Корни знаменателя: х₁=0 действительный некратный корень, и два комплексных корня квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом

.

Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А, В и D приведем правую часть выражения к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены

Приравняем числители и коэффициенты при одинаковых степенях х

.

Получим систему

Окончательно

.

Вычислим интегралы от рациональных дробей примеров 9 и 10, используя формулы (1.15-1.19).

Замечание. Существует большое количество интегралов, которые методом замены переменной можно свести к интегралам от рациональных дробей. К таким интегралам относятся интегралы от иррациональных функций вида

В этом случае надо сделать замену переменной вида , где r – общий знаменатель дробей m/n, k/s…

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Степени корней ¼ и имеют общий знаменатель 12. Следовательно, замена

=

Получили неправильную рациональную дробь (1.15). Разделим числитель на знаменатель

Следовательно

.

Продолжим вычисление интеграла

Вычислим отдельно интеграл от правильной рациональной дроби методом разложения на простейшие. Знаменатель имеет корни: t₁= 1, t₂= -1 и два комплексных корня, соответствующих множителю t²+ 1.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены получим

Подставим полученное разложение рациональной дроби в интеграл