4.3.2. Планиметрия

Команды пакета трехмерной геометрии geom3d похожи на рассмотренные команды двумерной геометрии.

Для определения точки, прямой, плоскости и сферы применяются соответственно функции point3d, line3d, plane и sphere. Для пакета geom3d идентификаторы x, y, z и t используются для указания координат точек, а также в уравнениях прямых, плоскостей и сфер.

Аналогично командам двумерной геометрии ряд команд выполняет проверку некоторых геометрических условий.

– are_collinear – проверка, лежат ли три точки на одной прямой;

– are_concurrent – проверка, проходят ли три прямые через одну точку;

– are_parallel – проверка параллельности двух прямых;

– are_perpendicular – проверка перпендикулярности двух прямых;

– are_similar – проверка двух треугольников на подобие;

– are_tangent – проверка, касательна ли прямая сфере;

– coplanar – определение принадлежности четырех точек одной плоскости;

– on_plane(pt3d, plane) – проверка принадлежности точки pt3d плоскости plane;

– on_sphere(pt3d, sphere) – проверка принадлежности точки pt3d сфере sphere.

В следующих командах результат действия присваивается переменной с именем name. Задание большинства геометрических объектов (вершины треугольника или тетраэдра, точки отрезка и др.) не должно содержать никаких символических переменных.

– angle – вычисление наименьшего угла между двумя прямыми;

– area – вычисление площади треугольника;

– center – вычисление центра сферы;

– coordinater – выдача координат точки;

– distance – вычисление расстояния между двумя точками;

– inter – вычисление точки пересечения двух прямых;

– midpoint – вычисление прямой, проходящей через заданные две точки;

– parallel (pt3d, plane, name) – вычисление плоскости, проходящей через точку pt3d и параллельной плоскости plane;

– perpendicular(pt3d, plane, name) – вычисление плоскости, проходящей через точку pt3d и перпендикулярной плоскости plane;

– projection – вычисление проекции точки на плоскость;

– radius – вычисление радиуса сферы;

– reflect(pt3d, plane, name) – вычисление точки, зеркально симметричной точке pt3d относительно плоскости plane;

– spehere (name, [pt3d, expr]) – определение сферы с центром в точке pt3d и радиусом expr;

– symmetric (pt3d, plane, name) – вычисление точки, симметричной точке pt3d относительно плоскости plane;

– tangent (pt3d, sphere, name) – вычисление касательной плоскости к сфере sphere, проходящей через точку pt3d;

– tetrahedron – вычисление тетраэдра по четырем точкам;

– triangle3d – вычисление треугольника по трем точкам;

– volume – вычисление объема сферы.

Пример.

[> restart;

[> with(geom3d):

Warning, the assigned name polar now has a global binding

[>_EnvXName:=x:_EnvYName:=y:_EnvZName:= z:

[>point(o,0,0,0), point(A,7,0,0), point(B,0,9,0), point(C,0,0,11):

sphere(s,[o,A,B,C]);

[> Equation(s);

[> radius(s);

[> volume(s);

5. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

5.1. Вычисление пределов в Maple для некоторых математических операций существует по две команды: прямого и отложенного исполнения. Имена команд состоят из одинаковых букв за исключением первой:

– команды отложенного исполнения начинаются с заглавной буквы и выводят на экран математические операции (интеграл, предел, производная и др.) в виде стандартной аналитической записи операции;

– команды прямого исполнения начинаются со строчной буквы и сразу выдают результат.

Для вычисления пределов имеются две команды:

1) прямого исполнения – limit (выражение, x=a, par), где a – значение точки, для которой вычисляется предел, par – необязательный параметр для поиска односторонних пределов (left – слева, right – справа) или указание типа переменной (real – действительная, complex - комплексная);

2) отложенного исполнения – Limit (выражение, x=a, par), где параметры команды такие же, как и в предыдущем случае.

Пример.

[>Limit(sin(2*x)/x,x=0);

[>limit(sin(2*x)/x,x=0);

2

С помощью этих двух команд принято записывать математические выкладки в стандартном аналитическом виде.

Пример.

[>Limit(x*(Pi/2+arctan(x)),x=-infinity) =limit(x*(Pi/2+arctan(x)), x=-infinity);

Односторонние пределы вычисляются с указанием параметров: left – для нахождения предела слева и right – справа.

Пример.

[>Limit(1/(1+exp(1/x)), x=0,left)=limit(1/(1+exp(1/x)),x=0, left);

[>Limit(1/(1+exp(1/x)),x=0, right)=limit(1/(1+exp(1/x)),x=0, right);