2.3. Преобразование математических выражений

Maple обладает широкими возможностями для проведения аналитических преобразований математических формул. К ним относятся такие операции, как приведение подобных, разложение на множители, раскрытие скобок, приведение рациональной дроби к нормальному виду и др.

2.3.1. Выделение частей арифметических выражений

Пусть некоторому арифметическому выражению аа1=вв1, присвоено значение переменной, тогда командой rhs(выражение) можно осуществить выделение правой части арифметического выражения, а командой lhs(выражение) – произвести выделение левой части выражения.

Пример.

[>w:=a^2-b^2=(a-b)*(a+b):

[>rhs(w);

(a-b)(a+b)

[>lhs(w);

a²-b²

В случае рациональной дроби можно производить выделение ее числителя и знаменателя с помощью команд numer(выражение) и denom(выражение) соответственно.

Пример.

[>w:=(a^2-b^2)/(a^2+b^2):

[>numer(w);

a²-b²

[>denom(w);

a²+b²

2.3.2. Тождественные преобразования арифметических выражений

Разложение многочлена на множители осуществляется командой factor(выражение), а раскрытие скобок командой expand(выражение).

Пример.

[>w:=(x-1)*(x+2)*(x+1)*(x-3);

(x-1)*(x+2)*(x+1)*(x-3)

[>expand(w);

x⁴-x³-7x²+x+6

[>factor(%);

(x-1)*(x+2)*(x+1)*(x-3)

Команда expand(переменная) может иметь дополнительный параметр, позволяющий при раскрытии скобок оставлять определенное выражение без изменений. Например, пусть требуется каждое слагаемое арифметического выражения а + b + c умножить на выражение 1/(а - b), не производя раскрытия скобок. Такая операция может быть осуществлена с помощью следующего формата команды expand:

[>expand((a+b+c)/(a-b));

Упростить дробное выражение можно с помощью команды normal(выражение).

Пример.

[>w:=(a^2-b^2)/((a-b)*a);

[>normal(w);

Упрощение выражений осуществляется с помощью команды simplify(переменная или выражение).

Пример.

[>w:=(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x)):

[>simplify(w);

2cos(x)²-1

В команде simplify(переменная) в качестве параметров можно указать как преобразовывать выражения. Например, при указании simplify(переменная,trig) будет производиться упрощение при использовании большого числа тригонометрических соотношений. Стандартные параметры имеют названия: power – для степенных преобразований; radical или sqrt – для преобразования корней; exp – преобразование экспонент; ln – преобразование логарифмов.

Для упрощения выражений, содержащих не только квадратные корни, но и корни других степеней, лучше использовать команду radnormal(выражение).

Пример.

[>sqrt(3+sqrt(3)+(10+6*sqrt(3))^(1/3))= radnormal(sqrt(3+sqrt(3)+(10+6*sqrt(3))^(1/3)));

Приведение подобных членов выражения осуществляется командой

Collect(выражение, имя переменной относительно которой приводятся подобные);

Пример.

[>f:=a*ln(x)-ln(x)*x-x;

f:=aln(x)-ln(x)x-x

[>collect(f,ln(x));

(a-x)ln(x)–x

Объединить показатели степенных функций или понизить степень тригонометрических функций можно при помощи команды combine(выражение,param), где param – параметр, указывающий, какой тип функции преобразовать, например: power, trig и др.

Пример.

[>combine(4*sin(x)^3,trig);

-sin(3x)+3sin(x)

С помощью команды convert(выражение, param), где выражение будет преобразовано в указанный тип param. В частности, можно преобразовать выражение, содержащее sinx и cosx, в выражение, содержащее только tgx. Если указать в качестве параметра tan, или, наоборот, tgx, ctgx, можно перевести в sinx и cosx, если в параметрах указать sin или cos.

Команда convert имеет более широкое назначение. Она осуществляет преобразование выражения одного типа в другой. Например: convert(list, vector) – преобразование некоторого списка list в вектор с теми же элементами; convert(переменная,string) – преобразование математического выражения в его текстовую запись. Для вызова подобной информации о назначении параметров команды convert следует обратиться к справочной системе, набрав convert[termin].