13. Формат наиболее используемых команд аналитического пакета maple

?команда

Вызов справки о команде, указанной после знака вопроса без разделителя

help(команда);

Вызов справки о команде

??команда

Вывод информации о формате команды

usage(команда);

???команда

Вызов окна справки с примерами команды

example(команда);

related(команда);

Вызов сведений о родственных командах

whattype;

Вызов информации о типе переменной

readlib(команда);

Вызов команды из специальной библиотеки

with(имя пакета);

Загрузка пакета (специальной библиотеки)

rhs(выражение);

Выделение правой части арифметического выражения

lhs(выражение);

Выделение левой части выражения

numer(выражение);

В рациональной дроби выделяет числитель

denom(выражение);

В рациональной дроби выделяет знаменатель

factor(выражение);

Разложение многочлена на множители

expand(выражение);

Раскрытие скобок

expand(выражение);

При раскрытии скобок оставляет указанное выражение без изменений

normal(выражение);

Упрощение дробного выражения

simplify(выражение);

Упрощение выражения

simplify(выражение, упрощаемый параметр);

Упрощение выражения: trig - при использовании большого числа тригонометрических соотношений; power – при степенных преобразованиях; radical , sqrt –преобразование корней; exp – преобразование экспонент; ln – преобразование логарифмов

Radnormal (выражение);

Упрощение выражений, содержащих не только квадратные корни, но и корни других степеней

collect(выражение, имя переменной);

Приведение подобных членов выражения, относительно указанной переменной

combine(выражение, параметры);

Объединение показателей степенных функций, также понижение степени тригонометрических функций

convert(выражение, тип);

Производит преобразование выражения в указанный тип

evalf(выражение, точность в числах после запятой);

Дает возможность получить приближенное значение в виде числа с плавающей запятой

unapply(выражение, x1,x2,…);

Представления функции

piecewise(cond_1, f1, cond_2, f2, …);

Определение неэлементарных функций в виде системы уравнений

Re(z);

Определение вещественной части выражения типа z=x+iy

Im(z);

Определение мнимой части выражения типа z=x+iy

conjugate(z);

Определение комплексное сопряженное выражение комплексного числа

polar(z);

Определение модуля и аргумента комплексного выражения z

evalc(z);

Получение вещественной и мнимой частей сложного комплексного выражения, содержащего параметры

solve(уравнение,x);

Решение уравнений, x – переменная, относительно которой уравнение нужно решить

solve({уравнение1, уравнение2, …}, {x1,x2,…});

Решение системы уравнений

assign(имя);

Команда присвоения при решении системы уравнений

fsolve(уравнение, vars,опции);

Численное решение уравнений, когда трансцендентные уравнения не имеют аналитических решений. Опции задают дополнительные условия: complex – разыскиваются комплексные корни; a..b – для поиска корней задан интервал [a,b]; maxsols=n – определено число, разыскиваемых решений; fulldigits – используется арифметика с максимальной мантиссой

_EnvAllSloutions :=true;

Для получения всех решений тригонометрических уравнений в определенном интервале

Графика в Maple

plot(f(x), x=a..b, y=c..d, parameters);

Построение графиков функции f(x) одной переменной.

implicitplot(F(x,y)=0,x=x1..x2, y=y1..y2);

Построение графика неявной функции

inequal({f1(x,y)>c1,…, fn(x,y)>cn}, x=x1..x2, y=y1..y2, опции);

Построение двумерной области, заданной системой линейных неравенств

-optionsfeasible=(color=red) – установка цвета внутренней области;

-optionsexcluded=(color=red) – установка цвета внешней области;

-optionsopen=(color=red, thickness=2) – установка цвета и толщины линии открытой границы;

-optionsclosed=(color=red, thickness=3) – установка цвета и толщины линии закрытой границы

Textplot([x0,y0, ’text’],опции);

Вывод текстовых комментариев на рисунок

polarplot ([переменная, выражение,параметры переменной],опции);

Построение графиков тригонометрических функций

data_list:=[[x1,y1],…,[xn,yn]];

pointplot(data_list, опции);

Построение графиков по координатам точек

sphereplot ((выражение),

парметры_, параметры_, опции);

или

sphereplot ([r_выражение, _выражение, _выражение], парметр_1, параметр_2, опции);

Построение графиков в полярной системе координат

plot3d ({выражение_1, выражение_2,…}, переменная_1=а..b, переменная_2=c..d, опции);

Построение трехмерных графиков функции нескольких переменных

plot3d([x(u,v), y(u,v), z(u,v)], u=u1..u2, v=v1..v2);

Построение поверхности, заданной параметрически: x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)

implicitplot3d(F(x,y,z)=0, x=x1..x2, y=y1..y2, z=z1..z2);

Построение поверхности, заданной неявно F(x,y,z)=0

spacecurve([x(t), y(t),z(t)], t=t1..t2);

Построение пространственной кривой, заданной параметрически

animate(график команда, [выражение, параметры переменных=а..b], параметр_t=c..d, опции);

Формат команды двумерной и трехмерной анимации

Геометрия в Maple

are_collinear;

Проверка, лежат ли три точки на одной прямой

are_concurrent;

Проверка, проходят ли три прямые через одну точку

are_harmonic;

Проверка двух точек на гармоническую сопряженность двум другим точкам

are_orthogonal;

Проверка двух окружностей на ортогональность

are_parallel;

Проверка параллельности двух прямых

are_perpendicular;

Проверка перпендикулярности двух прямых

are_similar;

Проверка двух треугольников на подобие

are_tangent(line, circle);

Проверка, касательна ли прямая line окружности circle

Concyclic;

Проверка существования окружности, которой принадлежат четыре точки

is_equilateral;

Проверка треугольника на разносторонность

is_right;

Проверка треугольника на прямоугольность

on_ circle(pt, circle);

Проверка принадлежности точки pt окружности circle

on_line(pt,line);

Проверка принадлежности точки pt прямой line

аrea;

Вычисление площади заданного объекта (треугольника, круга, квадрата и др.)

bisector(tri,pt, name);

Вычисление отрезка от вершины pt до середины потивоположнойстороны треугольника tri (median – синоним команды)

center(circle);

Определение центра окружности, результат присваивается переменной center_circle

centroid(tri,name);

Вычисление центра тяжести треугольника

circle(name,[pt, expr]);

Вычисление окружности с центром в точке pt и радиусом expr

circle(name,[pt1, pt2,pt3]);

Вычисление окружности, проходящей через три точки

circumcircle(name, tri);

Вычисление, описанной вокруг треугольника tri окружности

Convexhull;

Вычисление окружности, проходящей через три точки из заданного множества точек так, что все остальные точки содержаться внутри окружности

coordinates(pt);

Вывод координат точки pt

detailf(arg);

Вывод информации об аргументе arg, в качестве которого может быть точка, прямая или окружность

Diameter;

Вычисление диаметра круга, содержащего заданные точки

distance(pt,line);

Вычисление расстояния между точкой pt и прямой line

ellipse(name,[ ]);

Определение эллипса одним из следующих способов: по пяти точкам, по центру и двум полуосям или при помощи уравнения

find_angle;

Вычисление угла между двумя прямыми или двумя окружностями

incircle(tri,name);

Вычисление вписанной в треугольник tri окружности

inter(line1,line2);

Вычисление точки пересечения двух прямых

intersion(pt1, circle, name);

Вычисление для точки pt точки инверсии относительно окружности circle

midpoint(pt1, pt2, name);

Вычисление средней точки на отрезке, заданном двумя токами pt1 и pt2

parallel(pt, line, name);

Вычисление прямой, проходящей через точку pt и параллельной прямой line

perpen_bisector(pt1, pt2, name);

Вычисление прямой, проходящей через середину отрезка, заданного двумя точками pt1 и pt2, и ортогональной ему

perpendicular (pt, line, name);

Вычисление прямой, проходящей через точку pt и перпендикулярной прямой line

projection(pt, line, name);

Вычисление проекции точки pt на прямую line

radius;

Вычисление радиуса окружности;

randpoint(line, name);

Задание случайной точки на прямой line

reflect(pt,line, name);

Вычисление точки, зеркально симметричной точке относительно pt прямой line

sides;

Вычисление периметра треугольника

symmetric(pt,.line,.name);

Вычисление точки, которая симметрична точке pt по отношению к прямой line

tangent(pt,circle,name1,name2);

Вычисление двух прямых, проходящих через точку pt и касательных к окружности circle; результат присваивается переменным name1 и name2

tangentpc(pt,circle,name1);

Вычисление касательной к окружности circle, проходящей через точку pt

are_collinear;

Проверка, лежать ли три точки на одной прямой

are_concurrent;

Проверка, проходят ли три прямые через одну точку

are_parallel;

Проверка параллельности двух прямых

are_perpendicular;

Проверка перпендикулярности двух прямых

are_similar;

Проверка двух треугольников на подобие

are_tangent;

Проверка, касательна ли прямая сфере

Coplanar;

Определение принадлежности четырех точек одной плоскости

on_plane(pt3d, plane);

Проверка принадлежности точки pt3d плоскости plane

on_sphere(pt3d, sphere);

Проверка принадлежности точки pt3d сфере sphere

angle;

Вычисление наименьшего угла между двумя прямыми

area;

Вычисление площади треугольника

center;

Вычисление центра сферы

coordinater;

Выдача координат точки

distance;

Вычисление расстояния между двумя точками

inter;

Вычисление точки пересечения двух прямых

midpoint;

Вычисление прямой, проходящей через заданные две точки

parallel (pt3d, plane, name);

Вычисление плоскости, проходящей через точку pt3d и параллельной плоскости plane

perpendicular(pt3d, plane, name);

Вычисление плоскости, проходящей через точку pt3d и перпендикулярной плоскости plane

projection;

Вычисление проекции точки на плоскость

radius;

Вычисление радиуса сферы

reflect(pt3d, plane, name);

Вычисление точки, зеркально симметричной точке pt3d относительно плоскости plane

spehere (name, [pt3d, expr]);

Определение сферы с центром в точке pt3d и радиусом expr

symmetric (pt3d, plane, name);

Вычисление точки, симметричной точке pt3d относительно плоскости plane

tangent (pt3d, sphere, name);

Вычисление касательной плоскости к сфере sphere, проходящей через точку pt3d

tetrahedron;

Вычисление тетраэдра по четырем точкам

triangle3d;

Вычисление треугольника по трем точкам

volume;

Вычисление объема сферы

Вычисление пределов

limit (выражение, x=a, par);

Команда прямого исполнения для вычисления пределов

Limit (выражение, x=a, par);

Команда отложенного исполнения для вычисления пределов

diff(функция,x);

Команда прямого исполнения для вычисления производных

Diff(функция,x);

Команда отложенного исполнения для вычисления производных

D(функция);

Определение дифференциального оператора

extrema(f,{cond}, x,’s’);

Исследования функции на экстремум имеется команда

maximize(f,x, x=x1..x2);

Нахождение максимума функции f(x) по переменной х на интервале

minimize(f, x, x=x1..x2);

Нахождение минимума функции f(x) по переменной х на интервале

Интегрирование

int(функция, x);

Команда прямого исполнения для нахождения неопределенного интеграла

Int(функция, x);

Команда отложенного исполнения для нахождения неопределенного интеграла

evalf(int(f, x=x1..x2), e);

Выполняется численное интегрирование, где e – точность вычислений (число знаков после запятой)

assume(первое неравенство);

Получение явного аналитического результата вычислений интеграла вводят с помощью команды

additionally(второе неравенство);

Введение дополнительного ограничения для получения явного аналитического результата вычислений интеграла

Intparts (Int(f,x),u);

Команда интегрирования по частям для подынтегральной функции f=u(x)v’(x), где u –функция u(x), производную от которой нужно вычислить по формуле интегрирования по частям

changevar(h(x)=t, Int(f, x), t);

Замена переменных x=g(t) или t=h(x) осуществляется командой замены переменных, где t  новая переменная

Линейная алгебра

with(linalg);.

Загрузка библиотеки линейной графики

value(%);

Получение окончательного ответа, где % - предыдущая строка

Векторы

vector([x1,x2,…,xn])

Определение вектора, в квадратных скобках через запятую указываются координаты вектора

convert(vector, list);

Преобразование вектора в список

convert(list, vector);

Преобразование списка в вектор

matadd(a,b, alpha,beta);

Вычисляет линейную комбинацию векторов a и b: ,  скалярные величины

dotprod(a,b);

Вычисление скалярного произведения двух векторов

crossprod(a,b);

Вычисление векторного произведения двух векторов

angle(a,b);

Определение угола между двумя векторами a и b

norm(а,2);

Вычисление нормы (длины) вектора , которая равна

normalize(a);

Нормирование вектора а, результате будет получен вектор единичной длины

basis([a1,a2,…,an]);

Определение базиса системы векторов

GramSchmidt([a1, a2,…,an])

Ортогонализировывает систему линейно-независимых векторов

Матрицы

matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]);

Определение матрицы, n  число строк, m – число столбцов в матрице

rowdim(A);

Определение числа строк в матрице

coldim(A);

Определение числа столбцов в матрице

matadd(A,B);

Сложение двух матриц одинаковой размерности

det(A);

Вычисление определителя матрицы

minor(A,i,j);

Возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца

det(minor(A,i,j));

Вычисление минора M_ij элемента a_ij матрицы А

rank(A);

Определение ранга матрицы

trace(A);

Вычисление следа матрицы А, равного сумме ее диагональных элементов

evalm(1/A);

inverse(A);

Вычисление обратной матрицы

transpose(A);

Транспортирование матрицы

definite(A, параметры);

Выявление определенности матрицы

orthog(A);

Проверка ортогональности матрицы

eigenvalues(A);

Нахождение собственных чисел матрицы А

eigenvectors(A);

Нахождение собственных векторов матрицы А

charpoly(A,lambda);

Вычисление характеристического многочлена матрицы A

minpoly(A,lambda);

Определение минимального многочлена (делителя) матрицы А

jordan(A);

Приведение матрицы А к нормальной форме Жордана

Приведение матрицы к треугольному виду:

gausselim(A);

методом Гаусса

ffgausselim(A);

методом Гаусса без деления (применима к символьным матрицам, так как не производит нормировку элементов и исключает возможные ошибки, связанные с делением на нуль)

gaussjord(A);

методом Гаусса-Жордана

charmat(A,lambda);

Вычисление характеристической матрицы

linsolve(A,b);

Нахождение решения матричного уравнения АХ=В

kernel(A);

Определение ядра матрицы

Дифференцирование

dsolve(eq,var, options);

Нахождение аналитических решений дифференциальных уравнений, где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестная функция, options – параметры

diff(y(x), x$2)+y(x)=x;

Запись дифференциального уравнения y''+y=x

;

Производная n-го порядка для определения дифференциального оператора , при решении задачи Коши

dsolve(eq, vars, type=numeric, options);

Команда для численного решения дифференциального уравнения, где eq – уравнения, vars – список неизвестных функций, options – параметры, позволяющие указать метод численного интегрирования дифференциального уравнения

odeplot(dd, [x,y(x)], x=x1..x2);

Построение графика численного решения дифференциального уравнения, где функции это команда dd:=dsolve({eq,cond}, y(x), numeric) численного решения, после нее в квадратных скобках указывают переменную и неизвестную функцию [x,y(x)], и интервал x=x1..x2 для построения графика

DEplot(de, vars, range, x=х1..х2, y=у1..у2, cond, ptions);

Строит численными методами графики решения или фазовые портреты, где de  дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений; vars – список неизвестных функций; range – диапазон измерения независимой переменной; cond – начальные условия; x=х1..х2 и y=у1..у2 – диапазоны изменения функций; options – дополнительные параметры

phaseportrait(sys, [x,y],x1..x2, [[cond]]);

Построение фазового портрета системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, где sys  система двух дифференциальных уравнений первого порядка, [x,y]  имена искомых функций, x1..x2  интервал, на котором следует построить фазовый портрет, а в фигурных скобках указываются начальные условия

diff(f,x1$n1, x2$n2,…, xm$nm);

Вычисление частных производных функции f(x₁,…, x_m), где x1,…, xm – переменные, по которым производится дифференцирование, а после знака $ указаны соответствующие порядки дифференцирования

extrema(f,{cond},{x,y,…},'s'),

Исследование функции многих переменных на локальный и условный экстремум, где cond – ограничения для поиска условного экстремума, которые записываются в виде равенств. После ограничений в фигурных скобках указываются все переменные, от которых зависит функция f, а затем в кавычках записывается s – имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремума

maximize(f,{x1,…,xn},range);

и

minimize(f,{x1,…,xn}, range);

Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных

Doubleint(f(x,y),D);

Вычисления двойных интегралов где D – область интегрирования, записываемая в одном из следующих форматов:

• x=х1..х2, y=y1..y2, где числа х1, х2, y1, y2 задают прямоугольную область интегрирования;

• x=f1(y)..f2(y), y=y1..y2, где f1(y), f2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования слева и справа на интервале от y1 до y2;

x=х1..х2, y=g1(x)..g2(x) , где g1(y), g2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования снизу и сверху на интервале от х1 до х2

Tripleint(f(x, y, z),x, y, z, V);

Вычисления тройных интегралов , где V – область интегрирования

f(x,y,z grad(f,[x,y,z], опция);,

Градиент скалярной функции, где f – функция, [x,y,z] – набор переменных, от которых она зависит

laplacian(f,[x,y,z],опция);

Лапласиан скалярной функции f(x,y,z) – это оператор, действующий на функцию f(x,y,z) по правилу:

diverge(F,[x,y,z], опция);

Дивергенцией вектор-функции F(x,y,z) называется функция (скалярная), вычисляемая по правилу: ,где F – вектор-функция, [x,y,z] – набор переменных, от которых она зависит

curl(F,[x,y,z], опция);

Ротором вектор-функции F(x,y,z) называется вектор с координатами:

jacobian(F,[x,y,z]);

Для вектор-функции F(x,y,z) можно вычислить матрицу Якоби

sum(expr, n=a..b);

Конечные и бесконечные суммы , где expr – выражение, зависящее от индекса суммирования, a..b – пределы индекса суммирования, указывающие, что суммировать следует от n=a до n=b

series(f(x), x=a, n);

Разложение функции f(x) в степенной ряд в окрестности точки а

где а – точка, в окрестности которой производится разложение, n – число членов ряда.

taylor(f(x), x=a, n);

Разложение функции f(x) в степенной ряд в окрестности точки x=a до порядка n-1 по формуле Тейлора

fourier(f(x),x,k);

Прямое преобразование Фурье функции f(x) вычисляется по формуле

,

где x  переменная, по которой производится преобразование, k  имя переменной, которое следует присвоить параметру преобразования

invfourier(F(k),k, x);

Обратное преобразование Фурье задаваемое формулой

fouriersin(f(x),x,

k);

и

fouriersin(F(k),k,

x);

Прямое и обратное синус-преобразование Фурье функции f(x) определяются формулами

и

.

fourierсоs(f(x),x,

k);

и

fourierсоs(F(k),k,

x);

Прямое и обратное косинус-преобразование Фурье функции f(x) определяются формулами

и

laplace(f(x),x,p);

Преобразование Лапласа функции f(x) (если оно существует) вычисляется по формуле:

,

получаемая функция F(p) называется изображением, где x  переменная, по которой производится преобразование, p  имя переменной, которое следует присвоить параметру преобразования

invlaplace(F(p),p,

x);

Обратное преобразование Лапласа (называемое оригиналом) вычисляется по формуле:

Программирование в среде Maple

if условие then выражение 1 else выражение 2 fi;

Условный оператор

if условие then выражение 1 fi;

Условный оператор в сокращенном виде

if условие 1 then выражение 1 elif условие2 then выражение2 … elif условие n then выражение n else выражение n+1 fi;

Полный вариант условного оператора

for имя переменной цикла from начальное значение переменной цикла by шаг приращения значения переменной цикла to конечное значение переменной цикла

Тело оператора цикла

while условие do выражение do;

Оператор цикла типа «пока» в Maple

for имя переменной цикла from начальное значение переменной цикла by значение приращение шага while условие do выражения od;

Оператор цикла в котором, выражения выполняются, до тех пор, пока логическое выражение условия является истинным, а переменная цикла изменяется от своего начального значения с заданным шагом

for имя переменной цикла in выражение 1 do выражение 2 od;

Оператор цикла предназначен для работы с аналитическими выражениями

имя функции:=(список формальных параметров)  выражение;

Задание процедуры-функции

имя функции:=unapply (выражение или операция, список переменных);

Задание процедуры-функции

имя процедуры := proc (список формальных параметров); команды (или выражения); end;

Задание процедуры в общем виде

RETURN(val);

Выход из процедуры в любом месте ее тела и присваивания результату ее работы по выполнению нужной команды, где val – возвращаемое значение, которое может иметь различный тип при выходе из разных мест процедуры

ERROR(‘string’);

Аварийный выход из процедуры в случае возникновения ошибки и вывод сообщения о случившемся, где string – сообщение, которое выводится на экран монитора в аварийной ситуации

имя процедуры:= proc(список параметров процедуры)local список локальных переменных, приведенных через запятую; globalсписок глобальных переменных, приведенных через запятую; RETURN(val); ERROR(‘error in body of procedure’);… end;

Задание процедуры

save список имен переменных, перечисленных через запятую, “имя файла с расширением txt”;

Cохранениt имен (индентификаторов) переменных и их значений во внешнюю память в виде файла с именем name.txt

read “имя файла”;

Вывод на экран сохраненной в файле информации

writeto (“имя файла”);

Запись всего содержимого экрана в файл , в результате выполнения этой команды вся информация, содержащаяся на экране будет сохранена в файле с указанным именем, если указанный файл существовал во внешней памяти, то хранящаяся информация будет заменена на новую

appendto (“имя файла”);

Дает возможность добавить информацию, отображаемую на экране после данной команды в конец существующего файла.

print(список Maple-выражений, перечисляемых через запятую);

или

lprint(список Maple-выражений, перечисляемых через запятую);

Вывод информации на экран или печать, если переменной ничего не присвоено, то на печать выводиться ее имя, в противном случае выводится ее значение

readdata(“имя файла”, тип переменной(integer/ float – последний тип устанавливается по умолчанию),счетчик чисел);

Cчитывание числовой информации из текстового файла