9.2.4. Обратная и транспонированная матрицы

Обратную матрицу А^1, такую что А^1А=АА^1=Е,

где Е  единичная матрица, которую можно вычислить двумя способами:

1. Evalm(1/a);

2. Inverse(a).

Транспонирование матрицы А – это изменение местами строк и столбцов. Полученная в результате этого матрица называется транспонированной и обозначается А'. Транспонированную матрицу А' можно вычислить командой transpose(A).

Пример.

Используя заданную в предыдущем пункте матрицу А, найдем ей обратную и транспонированную:

[> inverse(A);

[> multiply(A,%);

[> transpose(A);

9.2.5. Определение типа матрицы

Выяснить положительную или отрицательную определенность матрицы можно при помощи команды definite(A, параметры), где параметры могут принимать значения:

– 'positive_def' – положительно определена (A > 0),

– 'positive_semidef' – неотрицательно определенная ,

– 'negative_def' – отрицательно определенная (A < 0),

– 'negative_semidef'  неположительно определенная .

Результатом действия будет константа true – подтверждение, false – отрицание сделанного предположения.

Пример.

[> A:=matrix([[2,1],[1,3]]);

[> definite(А,'positive_def');

true

Проверить ортогональность матрицы А можно командой orthog(A).

Пример.

[>В:=matrix([[1/2,1*sqrt(3)/2],

1*Sqrt(3)/2,-1/2]]);

[> orthog(В);

true

9.2.6. Функции от матриц

Возведение матрицы А в степень n производится командой evalm(A^n). Вычисление матричной экспоненты возможно с помощью команды exponential(A).

Пример.

[> Т:=matrix([[5*a,2*b],[-2*b,5*a]]);

[> exponential(Т);

[> evalm(Т^2);

9.3. Спектральный анализ матрицы

Из курса линейной алгебры известно, что если Ах = х, то вектор х называется собственным вектором матрицы А, а число  – собственным числом, соответствующим данному собственному вектору.

Совокупность всех собственных чисел матрицы называется спектром матрицы. Если в спектре матрицы одно и тоже собственное число встречается k раз, то говорят, что кратность этого собственного числа равна k.

Для нахождения собственных чисел матрицы А используется команда eigenvalues(A). Для нахождения собственных векторов матрицы А используется команда eigenvectors(A). В результате выполнения этих команд будут получены собственные числа, их кратность и соответствующие им собственные векторы.

Пример.

Найти для матрицы три собственных вектора: , отвечающий собственному числу кратности 1, , отвечающий собственному числу кратности 1, , отвечающий собственному числу кратности 1.

[> A:=matrix([[3,-1,1],[-1,5,-1],[1,-1,3]]):

[> eigenvectors(A);

[2,1,{[-1,0,1]}], [3,1,{[1,1,1]}],

[6,1,{[1,-2,1]}]

В строке вывода перечислены в квадратных скобках собственное число, его кратность и соответствующий собственный вектор в фигурных скобках, затем следующие наборы таких же данных.

Для вычисления характеристического многочлена матрицы A используется команда charpoly(A,lambda).

Минимальный многочлен (делитель) матрицы А можно найти с помощью команды minpoly(A,lambda).

Привести матрицу А к нормальной форме Жордана можно командой jordan(A).

К треугольному виду матрицу А можно привести тремя способами:

1. команда gausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса;

2. команда ffgausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса без деления. Эта команда предпочтительней для работы с символьными матрицами, так как не производит нормировку элементов и исключает возможные ошибки, связанные с делением на нуль;

3. команда gaussjord(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса–Жордана.

Характеристическую матрицу можно вычислить командой charmat(A,lambda).