4. Практичне заняття №4 «Інтервальні оцінки результатів
вимірювань. Довірчі границі похибки. Виключення грубих похибок»
4.1. Розв'язання завдань по темі
Завдання 1. Надано результати двадцяти вимірів довжини li, мм, деталі: 18,305; 18,306; 18,306; 18,309; 18,308; 18,309; 18,313; 18,308; 18,312 18,310; 18,305; 18,307; 18,309, 18,303; 18,307; 18,309; 18,304, 18,308; 18,308; 18,310.
Визначити границі довірчого інтервалу для середньоквадратичного відхилення СКО результатів спостережень.
Розв'язок:
У якості оцінки математичного очікування
довжини деталі ухвалюємо її середнє
арифметичне
= 10,3078 мм.
Точкова оцінка
середньоквадратичного відхилення
результатів спостережень становить
= 0,0025 мм.
Прийнявши рівень довірчої ймовірності Р = 1 - q = 90% = 0,90, знаходимо для числа ступенів волі k = п - 1 = 20 - 1 = 19 по таблиці розподілу Пирсона:
;
;
;
.
Границі довірчого інтервалу для середнього квадратического відхилення результатів спостережень знаходимо по формулі:
мм.
мм.
Отримані результати говорять про те, що дійсне значення середнього квадратического відхилення СКО результатів спостережень із імовірністю 90 % лежить в інтервалі (0,0020 - 0, 0034) мм.
Відповідь:
мм,
мм.
Завдання 2. Після обробки результатів 25-ти спостережень отримана точкова оцінка СКО результатів спостережень Sх = 0,0025 мм. Прийнявши рівень довірчої ймовірності Р = 1 - q = 90%, знайти границі довірчого інтервалу для СКО.
Розв'язок: По таблиці розподілу Пирсона знайдемо границі довірчого інтервалу для k = п - 1 = 24; q = 0,10:
;
;
;
.
По формулі знайдемо границі довірчого інтервалу для СКО результатів спостережень:
мм.
мм.
Отримані результати говорять про те, що дійсне значення СКО з імовірністю 90 % лежить в інтервалі (0,0020 - 0,0033) мм.
Відповідь:
мм,
мм.
Завдання 3. При визначенні напруги були отримані наступні результати: 180 В; 182 В; 183 В; 184 В; 196 В. Оцінити придатність останнього результату при заданій імовірності 0,95.
Розв'язок:
Число вимірів
п = 5, отже
для виявлення грубих похибок можна
застосувати критерій Романовского.
Розрахуємо відношення
й зрівняємо його із критерієм υр,
знайденим по таблиці (див. Додаток 3).
Таблиця 4.1.
Результати вимірів і розрахунків
|
180 |
182 |
183 |
184 |
196 |
|
-5 |
-3 |
-2 |
-1 |
+11 |
|
25 |
9 |
4 |
1 |
121 |
Знаходимо середнє арифметичне і середнєквадратичне відхилення результатів спостережень:
Розрахуємо критерій υ:
При рівні значимості q = 0,05 критерій Романовского для п = 5 по таблиці (Додаток 3) буде рівний: υр = 1,869.
Тоді υ = 1,74 < υр = 1,869, отже останній результат не містить грубу похибку.
Відповідь: Останній результат при заданій імовірності придатний.
Завдання 4. При вимірюванні температури були отримані результати, представлені в другій графі таблиці.
Таблиця 4.2.
Результати вимірювань і розрахунків
i |
ti, °С |
|
|
|
|
1 |
20,42 |
+0,016 |
2,56 |
-0,009 |
0,81 |
2 |
20,43 |
+0,026 |
2,75 |
-0,019 |
3,61 |
3 |
20,40 |
-0,004 |
0,16 |
-0,011 |
1,21 |
4 |
20,43 |
+0,026 |
6,76 |
+0,019 |
3,61 |
5 |
20,42 |
+0,016 |
2,56 |
+0,009 |
0,81 |
6 |
20,43 |
+0,026 |
6,76 |
+0,019 |
3,61 |
7 |
20,39 |
-0,014 |
1,96 |
-0,021 |
4,41 |
8 |
20,30 |
-0,104 |
108,16 |
- |
- |
9 |
20,40 |
-0,004 |
0,16 |
-0,011 |
1,21 |
10 |
20,43 |
+0,026 |
6,76 |
+0,019 |
3,61 |
11 |
20,42 |
+0,016 |
2,56 |
+0,009 |
0,81 |
12 |
20,41 |
+0,006 |
0,36 |
-0,001 |
0,01 |
13 |
20,39 |
-0,014 |
1,96 |
-0,021 |
4,41 |
14 |
20,39 |
-0,014 |
1,96 |
-0,021 |
4,41 |
15 |
20,40 |
-0,004 |
0,16 |
-0,011 |
1,21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
°С
·104
,
°С
·104
= 20,404 °С
= 0,033 °С
= 0,016 °C
= 20,411 °С
Потрібно визначити, чи містить результат восьмого спостереження t8 = 20,30 °С грубу похибку.
Розв'язок: Спочатку звичайними способами знаходимо середнє арифметичне і середнєквадратичне відхилення результатів спостережень:
= 20,404 °С; = 0,033 °С.
Якщо прийняти довірчу ймовірність Р = 0,95,то при n = 15, υ0,95 = 2,493 і, оскільки:
те
результат t8
= 20,30°
С містить
грубу похибку.
Якщо відкинути цей результат і повторити обчислення, то середнє арифметичне виявиться рівним = 20,411 °C, а середнєквадратичне відхилення зменшиться до = 0,016 °C. Розрахунок наведено в останніх двох графах таблиці.
Відповідь: Результат восьмого спостереження містить грубу похибку.
Завдання 5. По десятьом спостереженням було обчислене значення маси еталона кілограма. Результати обчислення наступні:
=
999,998721 г, σ = 17·10-6 г,
= 5·10-6 г.
Знайти границі довірчого інтервалу, якщо рівень значимості у відсотках q = 1%.
Розв'язок:
Довірча ймовірність
.
Число ступенів свободи k = n - 1 = 10 - 1 = 9.
З таблиці значень коефіцієнта Стьюдента для зазначених k і Р знаходимо tp = 3,25 .
Отже,
г.
Дійсне значення
вимірюваної величини з довірчою
ймовірністю P=0,99 лежить в інтервалі
;
999,998705 г < Q < 999,998737 г.
Відповідь:
Границі довірчого інтервалу:
г.