3. Критерий восходящих и нисходящих серий

Этот критерий улавливает не только монотонное смещение среднего, но и периодические колебания.

Опять сопоставим временному ряду последовательность плюсов и минусов по следующему правилу.

Если следующий член временного ряда больше, ставим плюс.

Если следующий член временного ряда меньше, ставим минус.

Если несколько элементов, стоящих подряд, равны, то учитываем только один из них. Очевидно, что серия плюсов означает возрастание, а серия минусов – убывание. Если выборка случайна, то общее число серий не может быть малым, а их протяженность не может быть слишком большой.

Гипотеза об отсутствии тренда отклоняется, если нарушается хотя бы одно из неравенств

Здесь

	N < 26	26 < N < 153	153 < N < 1170
0	5	6	7

Вероятность ошибки заключена между 0.05 и 0.1. Квадратные скобки означают целую часть числа.

Пример.

Рассмотрим тот же временной ряд, что и в предыдущем примере.

26.2	24.9	25.6	26.8	27.7	28.3	27.4	25.1	25.2	25.6
-	+	+	+	+	-	-	+	+

Мы видим, что (10) = 4, (10) = 4.

Подсчитаем критические значения

Оба неравенства выполнены, гипотеза об отсутствии тренда не отклоняется.

4. Подбор порядка аппроксимирующего полинома

Функция тренда может иметь сложный вид, однако в качестве приближения этой функции обычно используют многочлен степени не выше третьей.

Порядок аппроксимирующего полинома определяется методом последовательных разностей.

Первой последовательной разностью для ряда x(t) называется временной ряд, элементы которого обозначаются x(t) и вычисляются по формуле

Разности более высоких порядков определяются по индукции

Последовательные разности обладают свойствами, аналогичными свойствам производных. Если исходный временной ряд содержит тренд в виде полинома степени p, то последовательная разность с номером p + 1 не содержит тренда.

Пусть, например, исходный ряд содержит линейный тренд, т.е. многочлен первой степени

Тогда

Если математическое ожидание некоторой случайной величины равно нулю, то выборочным аналогом ее дисперсии является величина

Если математическое ожидание отлично от нуля, то выборочный аналог дисперсии вычисляется по формуле

В этом случае V значительно больше var(x).

Если исходный временной ряд содержит тренд в виде полинома степени p, то для последовательных разностей порядка k < p + 1 математическое ожидание отлично от нуля, а для последовательных разностей порядка k  p + 1 математическое ожидание равно нулю. Это приводит к тому, что дисперсии последовательных разностей сначала убывают, а начиная с некоторого номера, стабилизируются. В данном методе рассматривается подправленная оценка дисперсии.

Величина

сначала убывает, а начиная с некоторого номера k₀, стабилизируются. Это означает, что исходный временной ряд содержит тренд в виде многочлена степени k₀ – 1.

В этой формуле

Пример.

Вновь рассмотрим квартальные данные о валовом внутреннем продукте в России в период с 1994 по 2000 год. Данные в миллиардах рублей.

GDP	D1	D2	D3	D4
88
130	42
168	38	-4
225	57	19	23
253	28	-29	-48	-71
353	100	72	101	149
443	90	-10	-82	-183
491	48	-42	-32	50
456	-35	-83	-41	-9
509	53	88	171	212
570	61	8	-80	-251
611	41	-20	-28	52
539	-72	-113	-93	-65
594	55	127	240	333
679	85	30	-97	-337
667	-12	-97	-127	-30
551	-116	-104	-7	120
626	75	191	295	302
694	68	-7	-198	-493
825	131	63	70	268
837	12	-119	-182	-252
1042	205	193	312	494
1276	234	29	-164	-476
1391	115	-119	-148	16
1389	-2	-117	2	150
1557	168	170	287	285

В таблице приведен исходный ряд и четыре первые последовательные разности. Подсчитаем для каждой разности величину V(k). Результаты расчетов приведены в таблице.

	gdp	D1	D2	D3	D4
V(k)	158103	3062	1611	1232	993

Мы видим, что уже для k = 2 наступила стабилизация, значит, порядок аппроксимирующего полинома равен 1.