ЛЕКЦИЯ 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

МЕТОДЫ ОБНАРУЖЕНИЯ ТРЕНДА

1. Основные понятия теории временных рядов

Ряд наблюдений случайной величины x, произведенных в последовательные моменты времени, называется временным рядом.

Мы будем рассматривать только временные ряды с равноотстоящими моментами наблюдений и будем записывать их x(1), x(2), … , x(N).

Более точно такой ряд называется одномерным. Многомерные ряды мы рассматривать не будем. Также мы не будем рассматривать ряды, элементы которых являются неслучайными функциями от времени.

Временной ряд имеет два главных отличия от случайной выборки:

1. члены временного ряда не являются статистически независимыми;

2. члены временного ряда не являются одинаково распределенными.

Эти особенности временного ряда позволяют строить краткосрочные прогнозы.

На формирование элементов временного ряда могут оказывать влияние четыре типа факторов:

1. долговременные;

2. сезонные;

3. циклические;

4. случайные.

Долговременные факторы формируют общую тенденцию в изменении элементов временного ряда. Эта тенденция описывается неслучайной, обычно монотонной, функцией f(t), называемой трендом.

Сезонные факторы вызывают периодические колебания, связанные с временами года. Функция (t), выражающая влияние этих факторов, периодическая.

Циклические факторы вызывают многолетние циклы. К ним относятся долговременные циклы деловой активности, циклы, связанные с периодичностью выборов органов власти, циклы солнечной активности и другие. Функцию этих циклов обозначим (t).

Случайные факторы определяют специфику теории временных рядов. Мы будем рассматривать только эволюционные случайные факторы, вызывающие небольшие случайные колебания. Функцию этих факторов будем обозначать (t).

Итак,

Примеры.

Рассмотрим квартальные данные о валовом внутреннем продукте в России в период с 1994 по 2000 год. Данные в миллиардах рублей.

Мы видим ярко выраженный тренд, а также сезонные колебания.

Рассмотрим помесячные данные об импорте из всех стран в Россию в период с 1994 по 2000 год. Данные в миллиардах долларов США.

Мы видим слабо выраженный тренд и сильно выраженные сезонные колебания. Мы видим также резкое падение импорта в 1998 году.

Рассмотрим помесячные данные о темпах инфляции в России в период с 1991 по 2000 год. Данные в процентах.

Мы видим резкие пики инфляции в 1991, 1992 и 1998 годах. Тренд и сезонные колебания отсутствуют.

Основные задачи анализа временных рядов:

1. определить, какие из неслучайных функций f(t), (t), (t) присутствуют во временном ряду;

2. Построить оценки для обнаруженных функций;

3. подобрать модель, описывающую поведение (t) и оценить параметры этой модели.

Основная цель теории временных рядов – прогнозирование.

2. Критерий серий, основанный на медиане

Далее мы рассмотрим ряд методов обнаружения тренда. Гипотезу об отсутствии тренда можно сформулировать следующим образом.

Математическое ожидание элементов временного ряда постоянно.

В данном методе сначала находим x_med – медиану временного ряда. Сопоставим исходному временному ряду последовательность + и – по следующему правилу:

Образованная последовательность плюсов и минусов характеризуется числом серий (N) и протяженностью самой длинной серии (N).

Под серией понимается последовательность идущих подряд плюсов или минусов.

Если временной ряд состоит из статистически независимых наблюдений, случайно колеблющихся вокруг некоторого числа, то чередование плюсов и минусов должно быть случайным. В этом случае последовательность не должна содержать слишком длинных серий, а общее число серий не должно быть слишком малым.

Гипотеза об отсутствии тренда отклоняется, если нарушается хотя бы одно из неравенств

Вероятность ошибки заключена между 0.05 и 0.1. Квадратные скобки означают целую часть числа.

Пример.

Рассмотрим потребительские расходы на бензин в США с 1973 по 1982 год.

26.2	24.9	25.6	26.8	27.7	28.3	27.4	25.1	25.2	25.6
+	-	-	+	+	+	+	-	-	-

Легко подсчитать, что x_med = 0.5(25.6 + 26.2) = 25.9.

Мы видим, что (10) = 4, (10) = 4.

Подсчитаем критические значения

Видим, что первое неравенство выполняется, а второе нет. Это означает, что тренд присутствует.