1.1. Постановка задачі лінійного програмування

Процес побудови математичної моделі починається з відповідей на наступні питання:

Для визначення яких величин повинна бути побудована модель, тобто як ідентифікувати змінні задачі?

Які обмеження повинні бути накладені на змінні, щоб виконувалися умови, характерні для модельованої системи?

У чому полягає мета задачі, для досягнення якої зі всіх допустимих значень змінних потрібно вибрати ті, які відповідатимуть оптимальному розв’язку задачі?

Розглянемо деякі загальні моделі і завдання.

Задача виробничого планування.

Деякий економічний суб’єкт (підприємство, цех, фірма) може виробляти п видів деякої продукції. В процесі виробництва використовується т видів ресурсів (сировини). Вживані технології характеризуються нормами витрат сировини на одиницю продукту, що виробляється, a_ij – норма витрати сировини i-го виду на виробництво одиниці продукції j-го виду. Відомі обмеження на ресурси, які витрачаються в процесі виробництва, b_i – запас сировини i-го виду, а також дохід від одиниці продукції j-го виду – с_j. Визначити план виробництва, який дозволить отримати найбільший сумарний дохід економічному суб’єкту.

Для побудови економіко-математичної моделі умови задачі зручно представити в таблиці 1.1.1.

Таблиця 1.1.1

Вид сировини	Норма витрати сировини i-го виду на виробництво одиниці продукції j-го виду				Запас Сировини
	Вид продукції
	1	2	…	п
1	а11	а12	…	а1п	b1
2	а21	а22	…	а2п	b2
…	…	…	…	…	…
т	ат1	ат2	…	атn	bт
Дохід від одиниці продукції	с1	с2	…	сп

Позначимо через х_j – кількість продукції j-го виду, що випускається.

В рамках описаних вище технологій на виробництво всієї продукції першого виду витрати сировини першого виду складуть а₁₁х₁, на виробництво всієї продукції другого виду – а₁₂х₂, і, так далі, на виробництво всієї продукції п-го виду – а_1пх_п. Загальні витрати сировини першого виду можна представити у вигляді суми

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + ... + а_1пх_п.

Оскільки запаси сировини обмежені, то ця сума не повинна перевищувати величину запасу сировини першого виду – b₁, тобто

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1пх_п b₁.

Провівши аналогічні міркування для всіх видів сировини, отримаємо решту нерівностей системи обмежень:

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2пх_п b₂,

..................................................

а_т1х₁ + а_т2х₂ + ... + а_тпх_п b_т.

До системи обмежень також повинні бути додані природні обмеження на додатність змінних х₁, х₂, …, х_п, оскільки кількість продукції будь-якого вигляду не може бути від’ємною: .

Дохід, що отримуємо від виробництва всієї продукції першого виду дорівнює с₁х₁, від виробництва всієї продукції другого виду – с₂х₂, і так далі, від виробництва всієї продукції п-го виду – с_пх_п . Сумарний дохід дорівнює

с₁х₁ + с₂х₂ + ... + с_пх_п.

Таким чином, задача полягає в знаходженні таких змінних х₁, х₂ ,…, х_п, які задовольняють системі обмежень

і надають функції доходу z = с₁х₁ + с₂х₂ + … + с_пх_п максимум.

Задача оптимального завантаження обладнання.

Підприємству потрібно випустити продукції П₁ за планом N₁ одиниць, продукції П₂ – N₂ одиниць, і так далі, продукції П_k – N_k одиниць. Продукція обробляється на взаємозамінному обладнанні В₁, В₂, ..., В_т різної потужності. Також відомі наступні величини: a_ij – норма часу на обробку одиниці продукції i-го виду на обладнанні j-го виду; А_j – фонд часу обладнанні j-го виду, с_ij – собівартість обробки продукції i-го виду на обладнанні j-го виду. Спланувати випуск продукції П_j, щоб собівартість її була найменшою і план випуску продукції було виконано.

Для побудови економіко-математичної моделі умову задачі зручно представити в таблиці 1.1.2.

Таблиця 1.1.2

Вид обладнання	Собівартість обробки продукції i-го виду на обладнанні j-го виду				Фонд часу обладнання
	Вид продукції
	П1	П2	…	Пk
В1	а11	а12	…	а1k	А1
В2	а21	а22	…	а2k	А2
…	…	…	…	…	…
Вт	ат1	ат2	…	атk	Ат
План випуску продукції	N1	N2	…	Nk

Позначимо х_ij – кількість продукції i-го виду, яка обробляється на обладнанні j-го виду.

Фактичні витрати часу на обробку всієї продукції П₁ на обладнанні В₁ складуть а₁₁х₁₁, на обробку всієї продукції П₂ на обладнанні В₁ – а₁₂х₁₂, і, так далі, на обробку всієї продукції П_k – а_1kх_1k. Загальні витрати часу на обробку всієї продукції на обладнанні В₁ можна представити у вигляді суми:

а₁₁х₁₁ + а₁₂х₁₂ + … + а_1kх_1k.

Оскільки фактичні витрати часу не можу перевищувати відведені фонди, то ця сума не повинна перевищувати А₁, тобто

а₁₁х₁₁ + а₁₂х₁₂ + … + а_1kх_1k А₁.

Провівши аналогічні міркування для всіх видів обладнання, отримаємо решту нерівностей системи обмежень:

а₂₁х₂₁ + а₂₂х₂₂ + … + а_2kх_2k А₂,

......................................................

а_т1х_т1 + а_т2х_т2 + … + а_тkх_тk А_т.

Оскільки за умовою задачі план повинен бути виконаним, то маємо систему обмежень:

х₁₁ + х₂₁ + ... + х_m1 = N₁,

х₁₂ + х₂₂ + … + х_m2 = N_2,

.........................................

х_1т + х_2т + … + х_тk = N_k.

До системи обмежень також повинні бути додані природні обмеження на невід’ємність змінних х_ij, оскільки кількість продукції будь-якого виду не може бути від’ємною.

Загальна собівартість оброблюваної продукції дорівнює

z = c₁₁х₁₁+c₁₂х₁₂+…+c_1kх_1k+c₂₁х₂₁+c₂₂х₂₂+…+c_2kх_2k+…+c_т1х_т1+c_т2х_т2+...+c_тkх_тk.

Таким чином, задача полягає в знаходженні таких змінних х₁, х₂ ,…, х_п, які задовольняють системі обмежень

і надають функції собівартості мінімум.

Задача про суміші.

До таких задач відноситься клас математичних моделей, що стосується економічних проблем, що пов’язані з виготовленням різних сумішей (сплавів металів, хімічних речовин, виробництва нафтопродуктів тощо).

Фірма має можливість купувати т різних видів сировини і готувати різні види сумішей. Кожен вид сировини містить різну кількість живильних інгредієнтів. Продукція повинна задовольняти хоч би мінімальним вимогам з погляду корисності (поживності). Перед керівництвом фірми стає задача визначити кількість кожного i-го виду сировини, що створює суміш мінімальної вартості при дотриманні вимог до загальної витрати суміші і її поживності.

Нехай х_i – кількість i-го виду сировини в суміші; т – кількість видів сировини; п – кількість інгредієнтів в суміші; а_ij – кількість інгредієнта j-го виду, що міститься в одиниці i-го виду сировини; b_j – мінімальна кількість інгредієнта j-го виду, що міститься в одиниці суміші; с_i – вартість одиниці сировини i-го виду; q – мінімальна загальна вага суміші, що використовується фірмою.

Для побудови економіко-математичної моделі умову задачу зручно представити в таблиці 1.1.3.

Таблиця 1.1.3

Вид інгредієнта	Кількість інгредієнта j-го виду, що міститься в одиниці i-го виду сировини				Мінімальна кількість інгредієнта
	Види сировини
	1	2	…	п
1	а11	а12	…	а1п	b1
2	а21	а22	…	а2п	b2
…	…	…	…	…	…
т	ат1	ат2	…	атn	bт
Вартість одиниці сировини	с1	с2	…	сп

В одиниці сировини першого виду міститься а₁₁ одиниць першого інгредієнта, а у всій сировині першого виду цього інгредієнта буде а₁₁х_1. Цього інгредієнта в одиниці сировини другого виду міститься а₁₂ одиниць, а у всій сировині другого виду цього інгредієнта буде а₁₂х₂ і так далі, а_1nх_{n –} кількість першого інгредієнта в п-му виді сировини. Загальна кількість сировини першого виду, що міститься у всіх сумішах дорівнює

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n.

Оскільки відомо, що мінімальна кількість інгредієнта першого виду, що міститься в одиниці суміші, повинно бути b₁, маємо наступне обмеження

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n b₁ .

Розглянемо другий вид інгредієнта. Необхідно врахувати вміст цього інгредієнта у всій кількості суміші першої сировини, другої і так далі до п-го виду сировини. Підсумовуючи окремі значення кількості одиниць другого виду інгредієнта у всіх сумішах, отримаємо загальну кількість другого виду інгредієнта. Вона повинна бути не менше мінімальної кількості інгредієнта другого виду, що міститься в одиниці суміші b₂. Аналогічно попереднім міркуванням, можна встановити співвідношення між змістом інгредієнта будь-якого виду у всіх сумішах і мінімальною кількістю цього інгредієнта в суміші. В результаті прийдемо до системи обмежень на поживність суміші:

а11х1 + а12х2 + … + а1nхn b1, а21х1 + а22х2 + … + а2nхn b2, ..................................................... ат1х1 + ат2х2 + ... + атnхn bт.

Змінні х₁, х₂, …, х_n, що є кількостями інгредієнта першого, другого і т.д., до п-го виду, не можуть бути від’ємними. У випадку, якщо який-небудь інгредієнт не входить до складу суміші, то відповідна змінна буде дорівнювати нулю. Таким чином, прийдемо до системи обмежень на невід’ємність змінних

х₁ 0, х₂ 0,…, х_n 0.

У зв’язку з тим, що відома мінімальна загальна вага суміші q, що використовується фірмою, прийдемо до обмеження на витрату суміші

х₁ + х₂ + … + х_n q.

Знаючи, що ціна одиниці сировини першого виду с₁, можемо обчислити вартість всієї сировини першого виду – с₁х₁. Аналогічно вартість всієї сировини другого виду – с₂х₂ і так далі, вартість всієї сировини п-го виду – с_nх_n. Сумарна вартість всіх видів сировини, що використовують в приготуванні суміші, дорівнює сумі всіх цих вартостей.

Таким чином, задача про суміші полягає в знаходженні величин х₁, х₂,…, х_n, що задовольняють обмеженням

а11х1 + а12х2 + … + а1nхn b1, а21х1 + а22х2 + … + а2nхn b2, .................................................... ат1х1 + ат2х2 + … + атnхn bт. х1 + х2 + … + хn q, х1 0, х2 0,… , хn 0.

і дають мінімум цільовій функції

z = с₁х₁ + с₂х₂ +…+ с_nх_n.

Транспортна задача.

Одним із завдань господарського управління, що часто зустрічаються, є завдання щодо розробки раціонального плану транспортних перевезень. Основна мета організації перевезень – мінімізація витрат на їх здійснення. Така задача носить назву транспортної.

Транспортна задача належить до спеціального класу розподільчих задач лінійного програмування. Нехай потрібно перевезти однорідний вантаж з m пунктів постачання А₁, А₂, …, А_т у n пунктів споживання B₁, B₂, …, B_п. Відома кількість вантажу a_i (запаси), що знаходиться у i-го постачальника (постійно), а також обсяги потреб в ньому b_j (заявки) j-го споживача. Відомі також витрати на перевезення одиниці вантажу від i-го постачальника до j-го споживача – тариф – с_ij. Необхідно розподілити вантаж так, щоб витрати на його перевезення були мінімальними.

Позначимо х_ij – кількість вантажу, що перевозиться з i-го пункту постачання в j-й пункт споживання.

Розв’язок (план перевезень) визначається матрицею розмірності ( )

.

Загальна кількість вантажу, що вивозиться від кожного постачальника, не повинна перевищувати запасів, що є у нього:

х₁₁ + х₁₂ + … + х_1п а₁,

х₂₁ + х₂₂ + …+ х_2п а₂,

..........................................

х_т1 + х_т2 + … + х_тп а_т.

Заявки, що подані пунктами споживання, повинні бути виконані:

х₁₁ + х₂₁ + ... + х_m1 = b₁,

х₁₂ + х₂₂ + … + х_m2 = b₂,

..........................................

х_1т + х_2т + ... + х_тп = b_п.

Природно, що всі невідомі не можуть приймати від’ємні значення, тобто .

Загальна вартість перевезень дорівнює

z = c₁₁х₁₁+c₁₂х₁₂+…+c_1пх_1п+c₂₁х₂₁+c₂₂х₂₂+…+c_2пх_2п+…+c_т1х_т1+c_т2х_т2+…+c_тпх_тп.

Таким чином, задача полягає в знаходженні таких змінних , які задовольняють системі обмежень

і надають функції транспортних витрат мінімум.

Узагальнюючи розглянуті приклади, можна зробити наступні висновки:

обмеження в задачах лінійного програмування можуть бути виражені як рівностями, так і нерівностями.

лінійна функція може прямувати як до максимуму, так і до мінімуму.

змінні в задачах завжди невід’ємні.

Задача лінійного програмування в загальному вигляді формулюється так: у задачі лінійного програмування (ЗЛП) потрібно знайти екстремум (максимум або мінімум) лінійної цільової функції :

, (1.1.1)

при обмеженнях:

(1.1.2)

У формулах (1.1.1), (1.1.2) – задані постійні величини, причому ; символ означає, що в конкретній ЗЛП можливе обмеження типу рівності або нерівності (у ту або іншу сторону).

ЗЛП (1.1.1), (1.1.2) можна записати в наступних формах: канонічній, векторній, матричній.

Канонічна форма ЗЛП має вигляд (1.1.3), (1.1.4):

, (1.1.3)

, (1.1.4)

Векторна форма ЗЛП має вигляд (1.1.5) (1.1.6):

, (1.1.5)

, (1.1.6)

,

де .

Матрична форма ЗЛП має вигляд (1.1.7), (1.1.8):

, (1.1.7)

, , (1.1.8)

де – матриця розмірності ,

Планом ЗЛП або допустимим розв’язком ЗЛП називають вектор , який задовольняє системі обмежень (1.1.2).

Оптимальним планом ЗЛП або оптимальним допустимим розв’язком ЗЛП називають план ЗЛП, який оптимізує цільову функцію (1.1.1).

Багатокутником розв’язків ЗЛП або областю допустимих розв’язків ЗЛП називають сукупність точок, що задовольняють системі обмежень (1.1.2).

Для розв’язання ЗЛП приведемо наступні твердження.

Множину називають опуклою, якщо разом з двома її точками їй належить і відрізок, що їх з’єднує. Точку множини називають граничною, якщо в будь-якому її околі містяться як точки, які належать множині, так і точки, які їй не належать. Сукупність граничних точок множини утворює її границю. Точки, в яких перетинаються відрізки або прямі границі багатокутника, називають вершинами. Перетином областей називають множину точок, які належать кожній з цих областей.

Теорема 1. Область допустимих розв’язків задачі лінійного програмування є опуклою множиною.

Теорема 2. Оптимальне значення цільова функція задачі лінійного програмування досягає у вершині багатокутника розв’язків.

Теорема 3. Якщо оптимальне значення цільова функція задачі лінійного програмування досягає в декількох точках багатокутника розв’язків, то вона приймає це ж значення в будь-якій точці, яка є їх опуклою лінійною комбінацією.

1.2. Графічний метод розв’язання задачі лінійного

програмування

Графічний метод розв’язання ЗЛП заснований на твердженнях, що приведені в пункті 1.1. Згідно теоремі 2, оптимальне рішення знаходиться у вершині багатокутника розв’язків і тому розв’язати ЗЛП – знайти вершину багатокутника розв’язків, координати якої надають оптимальне значення цільовій функції.

Графічний метод використовують для розв’язання обмеженого класу задач з двома змінними, іноді з трьома змінними. Треба відмітити, що для трьох змінних багатокутник розв’язків є недостатньо наочним.