4.2. Ускладнена транспортна задача

В пункти 4.1 розглянуто класичну транспортну задачу, на якій показано, як застосовують метод потенціалів для знаходження оптимального плану. У економіці підприємства такі задачі зустрічаються украй рідко. Зазвичай при складанні економіко-математичної моделі в задачі транспортного типу доводиться вводити цілий ряд додаткових обмежень, а потім користуватися методом потенціалів.

Ряд економічних задач можуть бути зведені до транспортної задачі. Розглянемо ситуації, що часто зустрічаються, в економіці підприємства.

1. Окремі поставки від певних постачальників деяким споживачам повинні бути виключені (через відсутність необхідних умов зберігання, надмірного перевантаження комунікацій і т.д.). Це обмеження вимагає, щоб в матриці поставок, що містить оптимальний план, певні клітини залишалися вільними. Останнє досягається штучним завищенням витрат на поставки у клітинах, перевезення через які слід заборонити. При цьому проводять завищення величини до таких значень, які будуть свідомо більше всіх, з якими їх доведеться порівнювати в процесі розв’язання задачі.

2. На підприємстві необхідно визначити мінімальні сумарні витрати на виробництво і перевезення продукції. З подібної задачею зустрічаються при вирішенні питань, що пов’язані з оптимальним розміщенням виробничих об’єктів. Тут може опинитися економічно вигіднішим доставляти сировину з більш віддалених пунктів, та зате при меншій собівартості. У таких задачах за критерій оптимальності приймають суму витрат на виробництво і перевезення продукції.

3. Ряд транспортних маршрутів, за якими необхідно доставляти вантаж, мають обмеження щодо пропускної здатності. Якщо, наприклад, за маршрутом можна провести не більше одиниць вантажу, то стовпець транспортної задачі розбивають на два стовпця – і . В стовпці попит приймають таким, що дорівнює різниці між існуючим попитом і обмеженням , в стовпці попит приймають таким, що дорівнює обмеженню , тобто . Витрати в обох стовпцях однакові і дорівнюють даним, але в стовпці , в клітині, що відповідає обмеженню , замість даного тарифу ставлять штучно збільшений тариф (клітина блокується). Потім задачу розв’язують звичайним чином.

4. Поставки за певними маршрутами обов’язкові і повинні увійти до оптимального плану незалежно від того, вигідно це чи ні. В цьому випадку зменшують запас вантажу у постачальників і попит споживачів і розв’язують задачу щодо тих постачань, які необов’язкові. Отриманий розв’язок коректують з урахуванням обов’язкових постачань.

5. Економічна задача не є транспортною, але в математичному відношенні подібна транспортній, оскільки описується аналогічною моделлю, наприклад розподіл виробництва виробів між підприємствами, оптимальне закріплення механізмів за певними видами роботи.

6. Необхідно максимізувати цільову функцію задачі транспортного типу. У цій ситуації при складанні опорного плану в першу чергу прагнуть заповнити клітини з найбільш високими значеннями показників . Вибір клітини, що підлягає заповненню при переході від одного допустимого плану до іншого, повинен проводитися не за мінімальною від’ємною різницею , а за максимальною додатною різницею . Оптимальним буде план, якому в останній таблиці супроводять вільні клітки з недодатними елементами: всі різниці .

7. Необхідно в один час розподілити вантаж різного роду по споживачах. Задачі даного типу називають багатопродуктовими транспортними задачами. У цих задачах постачальники вантажів розбивають на умовних постачальників, а споживачі вантажів розбивають на умовних споживачів. З урахуванням цього розбиття складають повну транспортну таблицю. При цьому відмітимо, що деякі маршрути повинні бути блоковані (закриті), оскільки в даній постановці задачі вантажі різного роду не можуть замінювати один одного. Цим маршрутам повинна відповідати дуже висока вартість поставок. Багатопродуктова задача не завжди обов’язково описується однією моделлю. Наприклад, якщо поставки вантажів різного роду незалежні, то задачу можна представити у вигляді комплексу транспортних задач по кожному роду вантажу. Проте якщо між вантажами різного роду існує зв’язок (наприклад, одні з вантажів можна замінити іншими), то в загальному випадку початкову модель (задачу) не вдається розбити на комплекс простих транспортних задач.

Розглянемо приклади задач транспортного типу.

Приклад 4.3.1. Одне фермерське господарство має продовольче зерно двох видів: 3 тис. т. – III класу і 4 тис. т. – IV класу. Друге фермерське господарство також має зерно двох класів: 5 тис. т. – III класу і 2 тис. т. – IV класу. Зерно необхідно вивезти на два елеватори: на перший елеватор необхідно поставити 2 тис. т. пшениці III класу, 3 тис. т. пшениці IV класу і останні 2 тис. т. пшениці будь-якого класу. Аналогічно другий елеватор повинен отримати 8,25 тис. т., з них пшениці – 1 тис. т. III класу і 1,5 тис. т. IV класу. Вартість перевезення в г. о. 1 т. зерна складає: з пункту у пункти і – 1 і 1,5 відповідно; з пункту у пункти і – 2 і 1 грош. од. відповідно.

Скласти оптимальний план перевезень.

Розв’язання.

Кожного постачальника умовно розділимо на дві частини згідно двом видам зерна ( і ; і ). Аналогічно споживачів розділимо на три частини (пшениця III класу, IV класу і будь-який клас): і , а також і . Потреби перевищують запаси, тому введемо фіктивного постачальника . Частину клітин в таблиці запираємо великими числами ; наприклад, в клітині ( ) знаходиться велике число. Це означає, що постачальник не може задовольнити споживача пшеницею IV класу за рахунок пшениці III класу, що є у нього.

З урахуванням зроблених зауважень складемо першу таблицю (табл. 4.2.1).

Таблиця 4.2.1

Початкові дані

Споживачі Постачальники
			2	3	2	1	1,5	5,75
		3	1		1	1,5		1,5
		4		1	1		1,5	1,5
		5	2		2	1		1
		2		2	2		1	1
		1,25	0	0	0	0	0	0

Поставки від фіктивного постачальника не здійснюються, тому . Величина набагато більше . За допомогою методу потенціалів отримаємо таблицю з оптимальним розв’язком (табл. 4.2.2).

Таблиця 4.2.2

Початкові дані

Споживачі Постачальники
			2	3	2	1	1,5	5,75
		3	1 2 1 1 3 1 4		1	1,5		1,5
		4		1	1		1,5	1,5
		5	2		2	1		1
		2		2	2		1 0,55	1
		1,25	0	0	0	0	0 1,2555	0

Таким чином, перший постачальник поставить на перший елеватор пшеницю III класу ; пшеницю IV класу , а також пшеницю будь-якого класу (III або IV) .

Другий постачальник поставить на другий елеватор пшеницю III класу , пшеницю IV класу і частково будь-яку пшеницю . Потреба елеватора в будь-якій пшениці не задоволена на 1,25 тис. т. . Мінімальні витрати на перевезення склали: г. о.

Розглянемо модель виробництва із запасами.

Приклад 4.3.2. Підприємство планує виробляти певний вид виробів, які випускатимуться протягом чотирьох кварталів. Величини попиту протягом цих чотирьох кварталів складають 100, 200, 180 і 300 виробів відповідно. У кожен квартал попит можна задовольнити за рахунок:

запасів виробів, що виготовлені минулого кварталу, зберігаються для реалізації в майбутньому;

виробництва виробів протягом поточного кварталу;

надлишку виробництва виробів в пізніші квартали в рахунок невиконаних замовлень.

Витрати на один виріб в кожному кварталі складають 4 грош. од. Виріб, вироблений для пізнішої реалізації, спричиняє за собою додаткові витрати на зберігання в 0,5 грош. од. у квартал. З іншого боку, кожен виріб, що випускається в рахунок невиконаних замовлень, обкладається штрафом у розмірі 2 грош. од. у квартал.

Обсяг виробництва виробів змінюється від кварталу до кварталу залежно від випуску інших виробів. У дані чотири квартали передбачається випуск 50, 180, 280 і 270 виробів відповідно.

Потрібно скласти план, що має мінімальну вартість виробництва і зберігання виробів.

Розв’язання.

Задачу можна сформулювати як транспортну. Еквівалентність між елементами виробничої і транспортної систем встановлюється таким чином (табл. 4.2.3):

Таблиця 4.2.3

Еквівалентність між елементами виробничої і транспортної систем

Транспортна система	Виробнича система
Початковий пункт Пункт призначення Пропозиція в пункті Попит в пункті Вартість поставки з і	Період виробництва Період споживання Обсяг виробництва за період Реалізація за період Вартість виробництва і зберігання за період і

Перед нами структура транспортної моделі. Для даної задачі вартість “перевезення” виробу з періоду -го у період -й виражається як :

вартість виробництва в -й період, ;

вартість виробництва в -й період плюс вартість затримання від до , ;

вартість виробництва в -й період плюс штраф за порушення терміну, .

З визначення витікає, що витрати в період при реалізації продукції в той же період оцінюються тільки вартістю виробництва. Якщо в період буде вироблятиметься продукція, яка споживатиметься пізніше , то мають місце додаткові витрати, що пов’язані із зберіганням. Аналогічне виробництво в -й період в рахунок невиконаних замовлень викликає додаткові витрати у вигляді штрафу. Наприклад  (гр. од.), (гр. од.), (гр. од.),

Початкова транспортна таблиця виглядає таким чином (табл. 4.2.4).

Таблиця 4.2.4

Початкові дані

Період	Період				Обсяг виробництва
	1	2	3	4
1	4	4,5	5	5,5	50
2	6	4	4,5	5	180
3	8	6	4	4,5	280
4	10	8	6	4	270
Попит	100	200	180	300

Задачу розв’язують звичайним методом потенціалів на мінімум витрат по виробництву і зберіганню продукції.

Приклад 4.3.3. Визначити оптимальний план транспортної задачі, якщо ресурси четвертого постачальника потрібно використати повністю і за маршрутом перевезти 20 од. продукції.

B A		B1	B2	B3	B4
		20	15	25	10
А1	10
А2	20
А3	20
А4	30

Розв’язання.

Маємо відкриту транспортну задачу: , . Введемо фіктивного споживача з попитом . Блокуємо маршрут для виконання першої додаткової умови штучно завищеним тарифом . Для забезпечення перевезення за маршрутом 20 од. продукції зменшуємо запаси і попит на 20 одиниць відповідно: і , а даний маршрут не блокуємо. Отриману збалансовану задачу розв’язуємо методом потенціалів.

Оптимальний розв’язок транспортної задачі має вигляд:

, (гр. од.).

Отже 10 од. продукції від другого постачальника вивезено не буде. Враховуючи обов’язкове перевезення, маємо розв’язок вихідної задачі:

, (гр. од.).