Алгоритм розв’язання задачі динамічного програмування

1. Динамічний процес розкладаємо на кроки, які відповідають тим часовим періодам планування, до яких розробляються управлінські рішення.

2. Визначаємо параметри станів і змінні управління на кожному кроці.

3. Записуємо рівняння станів.

4. Вводимо цільові функції k-го кроку і сумарну цільову функцію.

5. Вводимо умовні максимуми (мінімуми) і умовно оптимальне управління на k-му кроці , де , , …, 2, 1.

6. Записуємо основні рекурентні співвідношення для і , , , …, 2, 1 для обчислюваної схеми динамічного програмування.

7. Виконуємо умовну оптимізацію і одержуємо дві послідовності функцій і .

8. Після виконання умовної оптимізації одержуємо оптимальний розв’язок для конкретного початкового стану :

1. ;

2. з ланцюжка

оптимальне управління .

Задача оптимального розподілу обмежених ресурсів.

Нехай є деяка кількість ресурсів (фінанси, капітальні вкладення і т.п.) і об’єктів вкладень (підприємства, об’єкти, роботи і т.п.), для кожного з яких відомий очікуваний прибуток від вкладення певної кількості ресурсів. Необхідно розподілити ресурси між об’єктами таким чином, щоб одержати максимальну ефективність (загальний прибуток) від обраного способу розподілу.

Введемо позначення: – кількість ресурсів, які виділяються і-му підприємству; – величина прибутку, що отриманий від використання ресурсів і-м підприємством , – прибуток при управлінні .

Математична модель задачі оптимального розподілу обмежених ресурсів має вигляд

за умов

Для розв’язання цієї задачі методом динамічного програмування весь процес розподілу ресурсів між підприємствами розкладемо на кроків і введемо функцію умовно оптимальних значень критерію оптимальності , що відображає найбільшу ефективність, яку можна одержати від використання ресурсів х першими підприємствами. Тоді задачу розподілу ресурсів можна записати у вигляді:

(3.3.3)

за умов

(3.3.4)

Для знаходження розв’язку задачі (3.3.3), (3.3.4) необхідно одержати рекурентні співвідношення, що зв’язують і .

При найбільшу ефективність одержуємо від вкладення ресурсів в одне підприємство при , тому маємо

. (3.3.5)

При функція означає максимальну ефективність, що отримана при оптимальному розподілі всіх ресурсів між першим і другим підприємствами. Спочатку виділяємо другому підприємству одиниць ресурсів, які забезпечують одиниць доходу, а залишок виділяємо для першого підприємства, на якому він забезпечить одиниць доходу. Звідси рекурентне співвідношення для має вигляд

. (3.3.6)

Відповідне значення називають умовно оптимальним.

Аналогічно при довільному функція означає максимальну ефективність, отриману при оптимальному розподілі всіх ресурсів між першими k підприємствами. Виділяємо k-му підприємству одиниць ресурсів, які дають прибуток . Залишок вкладаємо у перші підприємств, на яких цей залишок при оптимальному розподілі забезпечить одиниць доходу.

Для максимізації ефективності вкладання ресурсів в k-е і перші підприємств, необхідно вибрати таким, щоб виконувалося співвідношення

. (3.3.7)

Отримане значення називають умовно оптимальним.

Рівняння (3.3.7) справедливе для . При функція означає загальну ефективність, отриману при оптимальному розподілі ресурсів між всіма підприємствами, а відповідне значення , при якому функція приймає максимальне значення, називають безумовно оптимальним.

Повертаючись до (п – 1)-го кроку, визначаємо безумовно оптимальне значення , при якому функція приймає максимальне значення при розподілі ( ) одиниць ресурсів між (п – 1) підприємствами, і так до . Таким чином, одержуємо оптимальний розподіл ресурсів і максимальну ефективність (прибуток) від обраного способу розподілу.

Приклад 3.3.1. Для розширення виробництва однорідної продукції на чотирьох підприємствах виділено кошти в обсязі 100 млн. грн. з дискретністю 25 млн. грн. Приріст випуску продукції на підприємствах залежить від суми інвестицій і його представлено у таблиці.

Вкладені кошти, млн. грн.	Приріст випуску продукції на підприємстві, млн. грн.
	І	ІІ	ІІІ	IV
0	0	0	0	0
25	7	6	3	5
50	10	10	4	6
75	11	11	7	8
100	18	15	19	15

Визначити такий розподіл коштів між підприємствами, що забезпечував би максимальний приріст випуску продукції за умови, що кожне підприємство може одержати не більше однієї інвестиції.

Розв’язання.

Розкладемо процес розв’язання задачі на чотири кроки за кількістю підприємств, у які передбачається вкласти інвестиції. Використовуючи рекурентні співвідношення (3.3.5)-(3.3.7) і початкові дані, визначимо умовно оптимальні стратегії розподілу коштів, а потім і оптимальний розподіл інвестицій між підприємствами.

Визначимо умовно оптимальні інвестиції, які виділяються для розвитку першого підприємства. Для цього знаходимо значення за формулою (3.3.5) при кожному , що приймає значення 0; 25; 50; 75 і 100.

Таблиця 3.3.1

Допоміжні розрахунки

Значення х

Результати обчислень і отримані умовно оптимальні розв’язки записуємо в таблицю 3.3.2.

Зауваження.

Зірочкою в таблицях позначаються оптимальні стратегії, які визначаться тільки на останньому кроці розв’язку.

Таблиця 3.3.2

Значення і умовно оптимальні кошти , які виділяються підприємству І

Обсяг коштів , які виділяються по одному підприємству		Умовно оптимальні кошти , які виділяються підприємству І
0	0	0
25*	7	25*
50	10	50
75	11	75
100	18	100

Використовуючи дані вихідні і таблиці 3.3.2, визначимо умовно оптимальні інвестиції, які виділяються другому підприємству. Знайдемо

для значень 0; 25; 50; 75 і 100.

Таблиця 3.3.3

Допоміжні розрахунки

Значення х

Отримані результати і знайдені умовно оптимальні кошти для розвитку другого підприємства запишемо у таблицю 3.3.4.

Таблиця 3.3.4

Значення і умовно оптимальні кошти , які виділяються підприємству ІІ

Обсяг коштів , які виділяються двом підприємствам		Умовно оптимальні кошти , які виділяються підприємству ІІ
0	0	0
25	7	0
50*	13	25*
75	17	50
100	20	50

Знайдемо умовно оптимальні інвестиції, які виділяються третьому підприємству, використовуючи дані вихідні і таблиці 3.3.4.

Обчислимо , де .

Таблиця 3.3.5

Допоміжні розрахунки

Значення х

Результати обчислень і отримані відповідні умовно оптимальні рішення запишемо в таблицю 3.3.6.

Таблиця 3.3.6

Значення і умовно оптимальні кошти , які виділяються підприємству ІІ

Обсяг коштів , які виділяються трьом підприємствам		Умовно оптимальні кошти , які виділяються підприємству ІІІ
0	0	0
25	7	0
50*	13	0*
75	16	25
100	20	25

Тепер обчислимо значення

,

використовуючи для цього дані вихідні і таблиці 3.3.6. Оскільки в цьому випадку підприємств чотири, то обчислення проводимо тільки для одного значення :

Таблиця 3.3.7

Допоміжні розрахунки

Значення х

Таким чином, максимальний приріст випуску продукції становить 21 млн. грн. Оптимальний розподіл інвестицій такий: у IV підприємство вкладаємо 50 млн. грн., а в перші три (І, ІІ, III) підприємства – 50 млн. грн. (100 – 50 = 50). Далі, як видно з таблиці 3.3.6, у III підприємство варто вкласти 0 млн. грн., а першим двом (І, II) залишається 50 млн. грн. (100 – 50 – 0 = 50). З таблиці 3.3.4 бачимо, що у II підприємство варто вкласти 25 млн. грн., а у перше підприємство варто вкласти 25 млн. грн.

Таким чином, інвестиції в обсязі 100 млн. грн. необхідно розподілити в такий спосіб: першому, другому підприємствам виділити по 25 млн. грн. кожному, а четвертому підприємству – 50 млн. грн. При такому розподілі приріст випуску продукції буде максимальним і дорівнюватиме 21 млн. грн.