Правила розв’язання задачі дробово-лінійного програмування графічним методом

1. Побудувати область допустимих розв’язків, що відповідає системі обмежень задачі.

2. Вибрати довільне значення z і побудувати відповідну пряму, яка обов’язково пройде через початок координат.

3. Якщо позначити , то

якщо , то, повертаючи пряму z проти годинної стрілки до опорного положення, отримаємо точку мінімуму (для отримання максимуму пряму повертають за годинною стрілкою);

якщо , то для отримання мінімуму пряму z, повертають за годинною стрілкою до опорного положення (для максимуму – проти годинної стрілки).

4. Визначити координати отриманих точок – це і будуть оптимальні значення змінних.

5. Обчислити величину цільової функції.

Приклад 3.1.2. Розв’язати задачу дробово-лінійного програмування (3.1.1), (3.1.2) графічним методом.

Розв’язання.

Область допустимих розв’язків, що відповідає системі обмежень (3.1.1), зображено на рисунку 3.1. Вона є трикутником АВС.

Рисунок 3.1 – Область допустимих розв’язків

Для побудови прямої z виконаємо наступні перетворення. Нехай , тоді . Отже, пряма z має вигляд або .

Оскільки в даному випадку виконується нерівність , то для отримання мінімуму цільової функції повертатимемо пряму z за годинною стрілкою до опорного положення.

Для знаходження розв’язку задачі, знайдемо координати точки А, як точки перетину прямих l₂ і l₃, розв’язавши систему рівнянь

В результаті отримаємо, що А , тобто ,

.

3.2. Параметричне програмування

Економічні задачі, в яких в лінійну цільову функцію або праву частину системи обмежень входить параметр, вивчає параметричне програмування. Наприклад, якщо ефективність або дохід залежать від сезонних коливань, тоді критерій оптимальності повинен цю залежність відображати. Якщо продукція, яка виготовлена підприємством, повинна якийсь час зберігатися, то її вартість складається з двох частин: постійної – це вартість продукції на момент виготовлення – і змінної частини, яка залежить від терміну зберігання, причому ця залежність, як правило, лінійна. Цільова функція задачі оптимального планування такого виробництва має коефіцієнти, які лінійно залежать від параметра t (від часу).

Метод розв’язання задачі параметричного програмування полягає в наступному:

вважають, що параметр t дорівнює меншому значенню з проміжку , тобто t = а, тоді всі коефіцієнти цільової функції будуть постійними; розв’язують задачу лінійного програмування для цього випадку, тобто знаходять вершину, в якій досягається екстремум;

визначають всі значення параметра t, для яких оптимальне рішення зберігається, тобто для яких екстремальне значення досягається в одній і тій же точці. Знайдені значення виключають з інтервалу зміни параметра t ; для інтервалу, що залишився, знов вирішують задачу до тих пір, поки не будуть знайдені розв’язки для всіх значень t.

Алгоритм розв’язання задачі параметричного програмування

1. Цільову функцію спрямувати до мінімуму; систему обмежень привести до канонічного виду, вводячи додаткові змінні; ввести штучні змінні, якщо потрібно.

2. Привласнити параметру t найменше значення з відрізку . Відповідно з цим конкретизують цільову функцію.

3. Побудувати першу симплексну таблицю відповідно до правил.

4. Доповнити першу симплекс-таблицю двома рядками: р-рядком і q- рядком.

у р-рядок потрібно записати з протилежним знаком коефіцієнти цільової функції, що не пов’язані з параметром t.

у q-рядок потрібно записати з протилежним знаком коефіцієнти цільової функції, що пов’язані з параметром t.

5 Проводити розрахунки всіх елементів таблиці відповідно до правил симплексного методу, перевіряючи оптимальність на основі М-рядка, а потім z-рядка.

6. Виписати оптимальний розв’язок, якщо критерій ефективності виконався. Після цього z- рядок до уваги не береться.

7. Знайти для параметра t частковий інтервал постійності розв’язку, розглядаючи такі випадки ( – початок інтервалу – кінець інтервалу):

а) всі , то частковий інтервал постійності розв’язку визначається за формулами (3.2.1):

, (3.2.1)

б) всі , то частковий інтервал постійності розв’язку визначається за формулами (3.2.2):

, (3.2.2)

в) приймають як додатні, так і від’ємні значення – в цьому випадку частковий інтервал постійності розв’язку визначається за формулами (3.2.3):

для , для .

(3.2.3)

8. Якщо отриманий інтервал не охоплює відрізок , то необхідно продовжити пошук і знайти розв’язок для інших значень параметра t.

9. Вибрати в якості розв’язувального стовпця той стовпець, в якому набуте значення . Потім виконати симплекс-перетворення і визначити новий частковий інтервал для нового розв’язку. Цю процедуру повторюють до тих пір, поки буде пройдено весь відрізок .

Приклад 3.2.1. Розв’язати задачу параметричного програмування

(3.2.4)

, (3.2.5)

Розв’язання.

Приведемо задачу до канонічного виду

,

де х₁, х₂ – основні змінні, х₃, х₄, х₅ – додаткові змінні; х₆ – штучна змінна.

Привласнимо параметру t найменше значення з інтервалу і конкретизуємо цільову функцію: при t = 0 маємо

.

Перша симплексна таблиця з додатковими рядками має вид:

Таблиця 3.2.1

Перша симплексна таблиця

Б	С		1	-2	0	0	0	М	С.В.
			р1	р2	р3	р4	р5	р6
р3	0	28	4	7	1	0	0	0	28/7=4
р4	0	30	5	6	0	1	0	0	30/6=5
р6	М	2	2	1	0	0	-1	1	2/1=2
z - рядок		0	-1	2	0	0	0	0
М-рядок		2	2	1	0	0	0	0
р- рядок		0	-1	2	0	0	0	0
q- рядок		0	1	-1	0	0	0	0

Для розв’язку, що відповідає першій симплексній таблиці, критерій оптимальності не виконується. За правилами переходу до наступної симплексної таблиці, отримаємо другу симплексну таблицю.

Таблиця 3.2.2

Друга симплексна таблиця

Б	С		1	-2	0	0	0	С.В.
			р1	р2	р3	р4	р5
р3	0	14	-10	0	1	0	7	14/7=2
р4	0	18	7	0	0	1	6	18/6=3
р2	-2	2	-2	1	0	0	-1	-
z - рядок		-4	-5	0	0	0	2
р- рядок		-4	-5	0	0	0	2
q- рядок		2	3	0	0	0	1

Для розв’язку, що відповідає другій симплексній таблиці, критерій оптимальності не виконується. За правилами переходу до наступної симплексної таблиці, отримаємо третю симплексну таблицю.

Таблиця 3.2.3

Третя симплексна таблиця

Б	С		1	-2	0	0	0	С.В.
			р1	р2	р3	р4	р5
р5	0	2	-10/7	0	1/7	0	1
р4	0	6	11/7	0	-6	1	0	6/(11/7)=42/11
р2	-2	4	4/7	1	1/7	0	0	4/(4/7)=7
z - рядок		-8	-15/7	0	-2/7	0	0
р- рядок		-8	-15/7	0	-2/7	0	0
q- рядок		4	11/7	0	1/7	0	0

Третій симплексній таблиці відповідає розв’язок

,

яке є оптимальним. Він зберігатиметься для певних значень параметра t. Оскільки всі q_i додатні, то маємо випадок а) пункту 7 і за формулою (3.2.1):

Значить, точка А з координатами забезпечує мінімум цільової функції для параметра t . Цей інтервал не покриває відрізок , тому розв’язування задачі слід продовжити. В якості розв’язувального стовпця потрібно вибрати стовпець р₁, оскільки в ньому набуте значення . Всі розрахунки виконуємо відповідно до правил симплексного методу.

Таблиця 3.2.4

Четверта симплексна таблиця

Б	С		1	-2	0	0	0
			р1	р2	р3	р4	р5
р5	0	82/77	0	0	-7/11	10/11	1
р1	1	42/11	1	0	-6/11	7/11	0
р2	-2	20/11	0	1	5/11	-4/11	0
z - рядок		2/11	0	0	-16/11	15/11	0
р- рядок		2/11	0	0	-16/11	15/11	0
q- рядок		-2	0	0	1	-1	0

Четвертій симплексній таблиці відповідає розв’язок

,

який забезпечує оптимальність цільової функції для значень параметра t, які знаходяться на основі випадку в) пункту 7 за формулою (3.2.3), оскільки q_i як додатні, так і від’ємні:

, .

Значить, точка В з координатами забезпечує мінімум цільової функції для параметра t . Цей інтервал також не покриває відрізок , тому розв’язання задачі слід продовжити. В якості розв’язувального стовпця потрібно вибрати стовпець р₃, оскільки в нім набуте значення . Всі розрахунки виконуємо відповідно до правил симплексного методу.

Таблиця 3.2.5

П’ята симплексна таблиця

Б	С		1	-2	0	0	0
			р1	р2	р3	р4	р5
р5	0	278/77	0	7/5	0	2/5	1
р1	1	6	1	6/5	0	1/5	0
р3	0	4	0	11/5	1	-4/5	0
z - рядок		6	0	16/5	0	1/5	0
р- рядок		6	0	16/5	0	1/5	0
q- рядок		-6	0	-11/5	0	-1/5	0

П’ятій симплексній таблиці відповідає розв’язок , яке забезпечує оптимальність цільової функції для значень параметра t, які знаходяться на основі випадку б) пункту 7 за формулою (3.2.2), оскільки всі q_i від’ємні:

, .

Значить, точка с координатами x₁=6, x₂=0 забезпечує мінімум цільової функції для параметра t . Цей інтервал покрив відрізок , тому розв’язання задачі слід закінчити.

Таким чином, якщо t , то цільова функція досягне мінімуму при ; якщо t , то цільова функція досягне мінімуму при ; якщо t , то цільова функція досягне мінімуму при .

Дамо геометричну інтерпретацію отриманого рішення задачі.

Область допустимих рішень, відповідна системі обмежень (3.2.1), зображено на рисунку 3.2. Вона є п’ятикутником АВСDЕ.

Рисунок 3.2 – Область допустимих розв’язків

Вектор-градієт напряму зростання залежатиме від значення параметра t.

1. При t = 0 маємо , тобто при t = маємо , тобто , тобто якщо t , то цільова функція z досягне мінімуму в точці А(0; 4).

2. При t =  маємо , тобто , тобто якщо t , то цільова функція z досягне мінімуму в точці В .

3. При t = 6 маємо , тобто , тобто якщо t , то цільова функція z досягне мінімуму в точці С(6; 0).