Контрольні питання до змістового модуля іі

1. Дайте визначення двоїстої ЗЛП.

2. В чому сутність складання двоїстих задач?

3. Як підрозділяють пари двоїстих задач?

4. З чого слід починати побудову двоїстих задач?

5. Одна з пари двоїстих задач має оптимальний план, що з іншою задачею?

6. В чому суть конфліктних ситуацій?

7. В чому полягає мета теорії ігор?

8. Що представляє собою гра?

9. Як визначають правила гри?

10. В чому різниця між стратегією гравця і оптимальною стратегією?

11. В чому суть матричної парної гри?

12. Що представляє собою платіжна матриця гри?

13. Які гру називають приведеною до нормальної форми?

14. В чому полягає завдання кожного з гравців?

15. Сформулюйте алгоритм принципу максиміну (мінімаксу).

16. Дайте визначення максиміну і мінімаксу.

17. В чому суть принципу мінімаксу?

18. Що представляє собою ціна гри?

19. Що таке змішана та чиста стратегії?

20. Сформулюйте послідовність дій при розв’язанні гри .

Змістовий модуль ІІІ

Елементи нелінійного програмування

3.1. Дробово-лінійне програмування

Якщо в задачі з лінійними обмеженнями задана дробово-лінійна цільова функція, то така задача може бути перетворена до традиційного вигляду шляхом алгебраїчних перетворень. Перетворена задача може бути розв’язана симплексним методом, а знайдений розв’язок трансформований в розв’язок вихідної задачі дробово-лінійного програмування. Всі етапи алгоритму проілюструємо на конкретному прикладі.

Приклад 3.1.1. Розв’язати задачу дробово-лінійного програмування

(3.1.1)

(3.1.2)

Розв’язання.

Систему обмежень (3.1.1) приведемо до канонічного виду:

(3.1.3)

де х₁, х₂ – основні змінні, х₃, х₄, х₅ – додаткові змінні; х₆, х₇ – штучні змінні.

Знаменник цільової функції (3.1.2) позначимо через , тоді

або

(3.1.4)

Рівність (3.1.4) є новим додатковим обмеженням, яке потрібно ввести в систему (3.1.3).

В цьому випадку цільова функція (3.1.2) прийме вигляд:

.

Всі обмеження системи (3.1.3) помножимо на і введемо в неї додаткове обмеження (3.1.4), отримаємо систему (3.1.5):

(3.1.5)

Введемо наступні позначення (3.1.6)

, , , , , , . (3.1.6)

З урахуванням позначень (3.1.6), потрібно упорядкувати систему (3.1.5), переносячи з правої частини доданки, що містять . Крім того, для утворення одиничного базису, в додаткове обмеження (3.1.4), потрібно ввести штучну змінну з наступним номером. В даному випадку введемо штучну змінну . В результаті вказаних перетворень отримаємо наступну систему:

(3.1.7)

.

Розв’язати отриману задачу (3.1.7) можна симплекс-методом. Індекси векторів повинні відповідати індексам змінних ( і т.д.)

Вектори коефіцієнтів при невідомих і вектор вільних членів такі:

, , , , ,

, , , ,

Перша симплексна таблиця має вигляд:

Таблиця 3.1.1

Перша симплексна таблиця

Б	С		0	2	5	0	0	0	М	М	М	С.В.
			р0	р1	р2	р3	р4	р5	р6	р7	р8
р6	М	0	-5	5	1	-1	0	0	1	0	0	0
р7	М	0	-6	1	6	0	-1	0	0	1	0	0
р5	0	0	-20	4	5	0	0	1	0	0	0	0
р8	М	1	0	4	3	0	0	0	0	0	1	1/4
z - рядок		0	0	-2	-5	0	0	0	0	0	0
М-рядок		1	-11	10	10	-1	-1	0	0	0	0

Цій симплексній таблиці відповідає наступний розв’язок:

, , , , , , , , .

Це розв’язок не є оптимальним. При виборі розв’язувального рядка потрібно вибрати той, який відповідає найбільшому елементу розв’язувального стовпця. В даному випадку виберемо рядок р₆ і розв’язувальний елемент дорівнює 5. Друга симплексна таблиця має вигляд:

Таблиця 3.1.2

Друга симплексна таблиця

Б	С		0	2	5	0	0	0	М	М	С.В.
			р0	р1	р2	р3	р4	р5	р7	р8
р1	2	0	-1	1	1/5	-1/5	0	0	0	0	0
р7	М	0	-5	0	29/5	1/5	-1	0	1	0	0
р5	0	0	-16	0	21/5	4/5	0	1	0	0	0
р8	М	1	4	0	11/5	4/5	0	0	0	1	5/11
z - рядок		0	-2	0	-23/5	-2/5	0	0	0	0
М-рядок		1	-1	0	8	1	-1	0	0	0

Цій симплексній таблиці відповідає наступний розв’язок:

, , , , , , , , .

Цей розв’язок не є оптимальним. Перехід до наступної симплексної таблиці здійснюють за правилами симплекс-методу і з урахуванням коментаря щодо вибору розв’язувального рядка. Третя симплексна таблиця має вигляд:

Таблиця 3.1.3

Третя симплексна таблиця

Б	С		0	2	5	0	0	0	М	С.В.
			р0	р1	р2	р3	р4	р5	р8
р1	2	0	-24/29	1	0	-1/29	1/29	0	0	0
р2	5	0	-25/29	0	1	1/29	-5/29	0	0	0
р5	0	0	-359/29	0	0	19/29	21/29	1	0	0
р8	М	1	171/29	0	0	21/29	11/29	0	1	29/171
z – рядок		0	-173/29	0	0	-7/29	-23/29	0	0
М-рядок		1	171/29	0	0	21/29	11/29	0	0

Цій симплексній таблиці відповідає наступний розв’язок:

, , , , , , , , .

Цей розв’язок також не є оптимальним. Переходимо до четвертої симплексної таблиці:

Таблиця 3.1.4

Четверта симплексна таблиця

Б	С		0	2	5	0	0	0	С.В.
			р0	р1	р2	р3	р4	р5
р1	2	24/171	0	1	0	-18/171	15/171	0	-
р2	5	25/171	0	0	1	24/171	-20/171	0	25/24
р5	0	359/171	0	0	0	372/171	260/171	1	359/372
р0	0	29/171	1	0	0	21/171	11/171	0	29/21
z – рядок		173/171	0	0	0	84/171	-70/171	0

Четвертій симплекс-таблиці відповідає наступний розв’язок:

, , , , , .

Цей розв’язок також не є оптимальним. Переходимо до п’ятої симплексної таблиці:

Таблиця 3.1.5

П’ята симплексна таблиця

Б	С		0	2	5	0	0	0
			р0	р1	р2	р3	р4	р5
р1	2	90/372	0	1	0	0
р2	5	4/372	0	0	1	0
р3	0	359/372	0	0	0	1
р0	0	19/372	1	0	0	0
z – рядок		200/372	0	0	0	0	-280/372	-84/372

П’ятій симплексній таблиці відповідає наступний розв’язок:

, , , , .

Знайдемо значення початкових змінних, використовуючи формули (3.1.6):

, .

Таким чином, розв’язок даної задачі дробово-лінійного програмування має вигляд:

, , .

Задачу дробово-лінійного програмування з двома змінними можна розв’язувати графічним методом.