Алгоритм принципу максиміну (мінімаксу)

1. У рядку платіжної матриці, який відповідає стратегії А_і, знайти мінімальне з чисел :

. (2.2.1)

Це мінімальний виграш гравця А, при використанні стратегії А_і. Очевидно, що гравцю А вигідно вибирати таку стратегію А_і, для якої значення гарантованого виграшу було б найбільшим.

2. Визначити число за формулою (2.2.2)

= , (2.2.2)

яке називають нижньою ціною гри або максиміном . Відповідну стратегію називають максиміною.

Максимін – це гарантований виграш, який гравець А може собі забезпечити в грі проти розумного противника.

Якщо гравець А буде дотримуватись максиміної стратегії, то йому при будь-якій розумній поведінці гравця В гарантовано виграш, не менший, ніж .

3. У стовпці платіжної матриці, який відповідає стратегії В_j, знайти максимальне з чисел :

. (2.2.3)

Це максимальний програш гравця В, при використанні стратегії Вj – найбільший з програшів. Очевидно, що гравець В прагне перетворити виграш гравця А в мінімальний, тобто він повинен вибрати стратегію, яка дає найменший програш.

4. Визначити число за формулою (2.2.4)

, (2.2.4)

яке називають верхньою ціною гри або мінімаксом . Відповідну стратегію називають мінімаксною.

Мінімакс – це гарантований програш, який гравець В може собі дозволити в грі проти розумного противника.

Якщо гравець В буде дотримуватись найбільш обережної зі всіх стратегій – мінімаксної – то у будь-якому випадку йому забезпечений програш, не більший, ніж .

Принцип мінімакса – це принцип обережності, який рекомендує гравцям дотримуватися максиміної і мінімаксної стратегій. Він витікає з припущення про обережність гравців, тобто з бажання вирішити конфліктну ситуацію самим кращим чином для всіх учасників.

Зауваження. Нижня ціна гри завжди не перевершує верхню ціну гри.

	Ціна гри – це об’єктивно можливий середній виграш .
	Якщо , то виграш є певним числом, а таку гру називають певною грою в чистих стратегіях або грою з сідловою точкою. Виграш називають значенням гри, що дорівнює елементу . Елемент є одночасно мінімальним в рядку максимальним в стовпці і називається сідловою точкою. Сідловій точці відповідають оптимальні стратегії, сукупність яких є розв’язком гри.

Зауваження. Якщо один з гравців дотримується своєї оптимальної стратегії, то для другого гравця відхилення від його оптимальної стратегії не може бути вигідним. Відступ гравців від їхніх оптимальних стратегій погіршує їх власне положення.

Приклад 2.2.1. Розв’язати матричну гру з платіжною матрицею .

Розв’язання. Ця матрична гра має розмірність (3х4), тобто гравець а має три стратегії, а гравець в – чотири. Запишемо її в нормальній формі.

	3	2	5	7	2
	5	4	6	5	(4)
	2	3	1	6	1
	5	(4)	6	7

Використовуючи алгоритм принципу мінімаксу (максиміну) маємо:

= max = max {2, 4,1} = 4

= min = min {5, 4, 6, 7} = 4.

Оскільки , то ця гра визначена в чистих стратегіях або є грою з сідловою точкою. Сідлова точка а₂₂ = (А₂,В₂) = 4, ціна гри =4. Таким чином, сукупність оптимальних стратегій А₂ і В₂ є розв’язком гри.

Якщо гра не має сідлової точки, то пошук розв’язку гри приводить до застосування складної стратегії, що полягає у випадковому застосуванні двох і більше стратегії з певною ймовірністю. Таку складну стратегію називають змішаною.

	Чистою стратегією гравця А називають можливий хід, який гравець А вибрав з ймовірністю 1.
	Змішаною стратегією гравця А (В) називають відношення ( ), де ( ), ( ), – ймовірність використання чистої стратегії _ – ймовірність використання чистої стратегії .

Зауваження. Будь-яка кінчена гра має рішення в чистих або змішаних стратегіях.

Кожній матричній грі можна поставити у відповідність пару двоїстих задач, що відображають інтереси сторін.

Для гравця А Для гравця В

де