Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни

Донецький національний університет економіки

і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

Кафедра вищої і прикладної математики

О.В. Шепеленко, С.В. Скрипник

ЕкономіКо-математиЧні моделі та методи: оптимізаційні моделі та методи

НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК

для самостійної роботи студентів

	Затверджено на засіданні кафедри вищої і прикладної математики Протокол № 25 від 22.03.2012 р.
	Схвалено навчально-методичною радою ДонНУЕТ Протокол № від 29.03.2012 р.

ДонНУЕТ

Донецьк

2012

УДК 519.852(075.8)

ББК 22.18я73

Ш-48

Рецензенти:

О.К. Щетініна – доктор фіз.-мат. наук, професор;

В.Є. Силенко – канд. фіз.-мат., наук

Шепеленко О.В.

Ш-48 Економіко-математичні моделі та методи: оптимізаційні моделі та методи: навч. посіб. для самост. роботи студ. / О.В. Шепеленко, С.В. Скрипник. – Донецьк: ДонНУЕТ, 2012. – 124 c.

Навчальний посібник призначено для організації самостійної роботи студентів з дисципліни “Економіко-математичні моделі та методи: оптимізаційні моделі та методи” у відповідності з новими стандартами підготовки спеціалістів.

Навчальний посібник може бути використано студентами інших спеціальностей та форм навчання. Посібник містить теоретичні питання, приклади розв’язання типових задач.

УДК 519.852(075.8)

ББК 22.18я73

© Шепеленко О.В., Скрипник С.В., 2012 © Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського, 2012

ЗМІСТ

стор.

	Вступ................................................................................................................	4
1.	Змістовий модуль І. Лінійне програмування...............................................	8
	1.1. Постановка задачі лінійного програмування.......................................	8
	1.2. Графічний метод розв’язання задачі лінійного програмування........	16
	1.3. Симплекс-метод розв’язання задачі лінійного програмування.........	21
	1.4. Цілочислове програмування..................................................................	26
	Контрольні питання до змістового модуля І...............................................	31
2.	Змістовий модуль ІІ. Двоїстість у лінійному програмуванні. Елементи теорії ігор........................................................................................................	32
	2.1. Двоїста задача лінійного програмування.............................................	32
	2.2. Елементи теорії матричних ігор...........................................................	36
	Контрольні питання до змістового модуля ІІ..............................................	42
3.	Змістовий модуль ІІІ. Елементи нелінійного програмування.....................	43
	3.1. Дробово-лінійне програмування...........................................................	43
	3.2. Параметричне програмування...............................................................	49
	3.3. Динамічне програмування.....................................................................	55
	Контрольні питання до змістового модуля ІІІ..............................................	64
4.	Змістовий модуль ІV. Розподільчі задачі......................................................	66
	4.1. Транспортна задача................................................................................	66
	4.2. Ускладнена транспортна задача...........................................................	73
	4.3. Задача про призначення.........................................................................	79
	Контрольні питання до змістового модуля ІV.............................................	85
	Індивідуальні завдання для самостійної роботи зі змістового модулю І…...	86
	Індивідуальні завдання для самостійної роботи зі змістового модулю ІІ…..	100
	Індивідуальні завдання для самостійної роботи зі змістового модулю ІІІ….	101
	Індивідуальні завдання для самостійної роботи зі змістового модулю ІV….	114
	Література.......................................................................................................	120
	Предметний покажчик...................................................................................	121

ВСТУП

Болонський процес – це процес структурного реформування національних систем вищої освіти країн Європи, зміни освітніх програм і необхідних перетворень у вузах Європи.

Основна мета створення Болонської співдружності – це стимулювання мобільності і створення умов для вільного переміщення студентів, викладачів, науковців, менеджерів освіти в межах простору, а також забезпечення працевлаштування випускників університетів на європейському ринку праці та підвищення конкурентоспроможності європейської вищої школи.

У зв’язку з цим основним напрямком розвитку традиційної вищої освіти в Україні є її модернізація відповідно до положень Болонської декларації, одним із принципів якої – впровадження кредитно-модульного навчання як новітньої моделі організації навчального процесу та введення модульно-рейтингової системи оцінки знань студентів.

Кредитно-модульна система організації навчального процесу – це модель організації навчального процесу, яка ґрунтується на об’єднанні модульних технологій навчання та залікових кредитів або залікових освітніх одиниць.

При кредитно-модульній системі організації навчального процесу зміст дисципліни розподіляється на змістові модулі (по 2-4 модуля на семестр), тобто навчальна дисципліна формується як система змістових модулів. Модуль – це задокументована закінчена частина освітньо-професійної програми (навчальної дисципліни, практики, державної атестації), яка реалізується відповідними формами навчального процесу. Таким чином, змістовий модуль повинен включати час на проведення лекцій, семінарських, практичних та лабораторних занять, самостійної та індивідуальної роботи (наприклад, курсової роботи), консультацій, практик і контролю знань по модулю (поточного і підсумкового тестування).

Заліковий кредит – це одиниця виміру навчального навантаження, що необхідна для засвоєння змістових модулів або блоку змістових модулів. В процесі педагогічного експерименту, який проводили провідні вищі навчальні заклади, в Україні було встановлено обсяг кредиту ECTS – 36 академічних годин і було встановлено річне навчальне навантаження студента – 60 кредитів ECTS. Кількість кредитів ECTS на навчальну дисципліну визначається діленням загального обсягу годин, запланованих на вивчення дисципліни на ціну кредиту (з округленням до 0,5 кредиту). Наприклад, якщо для вивчення дисципліни виділяється 108 годин, то це відповідає трьом кредитам. В цьому випадку дисципліна формується з трьох модулів.

Модульно-рейтингова система оцінки знань передбачає 100 бальну шкалу, тобто 100 балів – це максимальна кількість балів, які студент може отримати за академічні успіхи в процесі вивчення змістового модуля. Оцінка знань студента за змістовий модуль враховує оцінки, отримані за всі види проведених занять, за поточне і підсумкове тестування (наприклад, за виконання практичних, лабораторних занять, і т.д.) з урахуванням вагових коефіцієнтів.

Сумарне оцінювання засвоєння навчального матеріалу дисципліни визначається без проведення семестрового екзамену як інтегрована оцінка засвоєння всіх змістових модулів з урахуванням вагових коефіцієнтів. Академічні успіхи студента визначаються за допомогою системи оцінювання знань, яка використовується у вузі, але з обов’язковим приведенням оцінок до національної шкали та шкалою ECTS.

Відповідно до робочої програми курсу “Економіко-математичні методи і моделі: оптимізаційні методи і моделі” для економічних спеціальностей в рамках навчання студентів за кредитно-модульною системою організації навчального процесу матеріал курсу розбито на чотири змістових модуля.

Оскільки кредитно-модульна система організації навчального процесу передбачає зменшення числа аудиторних годин і збільшення числа годин на самостійну роботу, то даний навчальний посібник має за мету надати допомогу студентам при самостійному вивченні розділу курсу “Економіко-математичні методи і моделі: оптимізаційні методи і моделі”, сприяти свідомому засвоєнню теоретичного матеріалу студентами, формуванню навичок в застосуванні математичних методів, допомогти студентам при самостійному рішенні задач. У зв’язку з тим, що теоретичний матеріал засвоюється студентам набагато легше, коли він супроводжується достатнім числом прикладів, що ілюструють його, тому в посібнику застосований вищезгаданий підхід.

В кінці кожного розділу представлені контрольні питання, що дозволяють оцінити ступінь засвоєння вивченого матеріалу. Засвоєння навчального матеріалу не може бути ефективним без розв’язання задач, тому в даній розробці наведені зразки розв’язання задач з поясненнями, надані конкретні практичні рекомендації, пропонуються завдання для самостійного розв’язання.

Будь-які методи системного аналізу, також як і методи дослідження операцій і теорії управління, спираються на математичний опис тих або інших фактів, явищ, процесів, тобто на математичне моделювання. Вживаючи слово “модель” матимемо на увазі деякий опис, що відображає саме ті особливості процесу, що вивчається, які цікавлять дослідника. Точність, якість такого опису визначаються, перш за все, відповідністю моделі тим вимогам, які пред’являються дослідженню, відповідністю отримуваних за допомогою моделі результатів процесу, що вивчається.

Побудова математичних моделей – це важливий етап дослідження і проектування будь-якої системи. Від якості моделі залежить доля всього подальшого аналізу. Модель повинна достатньо правильно відображати явища і бути зручною для використання.

В курсі “Економіко-математичні методи і моделі: оптимізаційні методи і моделі” розглядаються задачі умовної оптимізації, тобто задачі на екстремум функції багатьох змінних з обмеженнями на область зміни цих змінних. Функцію, екстремальне значення якої потрібно знайти в умовах економічних можливостей, називають цільовою, показником ефективності або критерієм оптимальності.

Методи розв’язання оптимізаційних задач залежать як від виду функції багатьох змінних (цільової функції), так і виду обмежень на область зміни цих змінних.

Для економічної системи цільова функція – це функція ефективності її функціонування і розвитку, а також функція витрат.

Перед економіко-математичним моделюванням стоять дві проблеми:

моделювання економічних задач;

пошук оптимального рішення (плану) на основі побудованої математичної моделі.