2 Елементи, що зазнають згину. Розрахунки перерізів за міцністю

Елементи, що зазнають згину, поділяють па дві основні групи: балки і плити. Їх розрізняють за співвідношеннями геометричних розмірів і армуванням; розрахунки навантажень, що діють на балки і плити, і їх робота під навантаженнями тежнеоднакові.

Балки армують в'язаними або зварними каркасами, що складаються з робочих, монтажних і поперечних стержнів, які скріплюють в'язальним дротом (дивись рисунок 1.9,а) або на зварюванні (дивись рисунок 1.9,б).

Плити армують робочими стержнями, які укладають вздовж розрахункового прольоту на певних відстанях один від одного. Розподільчими стержнями їх об'єднують у в'язані або зварні (заздалегідь заготовлювані) сітки (дивись рисунок 1.9,е). Контурні плити, у яких співвідношення більшого і меншого прольотів l₂/l₁ < 2, армують робочими стержнями у двох напрямах (дивись рисунок 1.9,в).

2.1 Розрахунок перерізів, нормальних до осі елемента

Прямокутні перерізи з одиночною арматурою. На підставі передумов розрахунку, викладених у 1.5 і на рисунку 2.1, можна записати

,

; .

Рисунок 2.1- До розрахунку прямокутного перерізу з одиночною арматурою

Звідси

; ,

де z = h₀-0,5x – плече внутрішньої пари сил.

Виразимо висоту х стиснутої зони бетону в частках h₀ робочої висоти перерізу: x=αh₀. Тоді R₃bαh₀=R_aF_a

Звідки

(2.1)

Встановлюємо, таким чином, що положення нейтральної осі і висота стиснутої зони перерізу залежать від вмісту арматуриїї перерізі μ=F_a/bh₀ від розрахункових характеристик міцності сталі R_a І бетону R_a.

Перетворивши формулу (2.1), можна знайти переріз арматури F.a якщо відомі коефіцієнт α та інші геометричні, а також міцнісні параметри перерізу

. (2.2а)

Підставивши у вираз М=N_бz значення величин N_б, z і α=x/h₀, що входять до нього, дістанемо

.

Звідки, коли винесемо h_о за дужки, дістанемо формулу А.Ф. Лолейта для розрахунків міцності (несучої здатності) прямокутних перерізів з одиночною арматурою

. (2.3)

Знак нерівності в цій формулі, як і в інших основних фор­мулах міцності, нагадує проектувальникам про їх основне зав­дання: розраховувати і конструювати залізобетонні елементи так, щоб максимальне зусилля в розрахунковому перерізі при несприятливих змінах навантаження в більший бік не переви­щувало мінімальної несучої здатності перерізу, яка визна­чається при несприятливих змінах міцнісних характеристик ма­теріалів у менший бік.

Формула А.Ф. Лолейта справедлива при додержанні умови

, (2.4)

яка характеризує положення нейтральної осі, що відповідає достатній міцності бетону стиснутої зони і визначає межі переармування перерізів.

Тут S_б – статичний момент стиснутої зонибетону відносно центра ваги розтягнутої арматури;

S₀ – статичний момент робочої площі перерізу відносно того самого центра ваги;

ζ – емпіричний (досвідний) коефіцієнт, який приймають за таблицею 6 залежно від марки бетону.

Розгорнувши умову (2.4) і розв’язавши квадратне рівняння відносно х при ξ = 0,8 дістанемо х=0,553h₀. Отже, значенню ξ = 0,8 відповідає (з округленням) а_макс=х/h₀=0,55. Аналогічно обчислюють інші значення амакс, які зведено в таблиці 2.1.

Таблиця 2.1 – Значення коефіцієнтів ξ, 𝑎_макс, А_макс

Коефіцієнти	Марки бетону
	«400» і менше	«500»	«600»
ξ	0,8	0,7	0,65
αмакс	0,55	0,45	0,41
А макс	0,4	0,35	0,325

Знаючи величини а_макс можна з (2.2) вивести значення верхніх граничних коефіцієнтів армування, перевищення яких означає небажане переармування перерізів

. (2.5)

Нижню межу мінімального армування μмін можна дістати, прирівнюючи величини розрахункових моментів, що сприймаються залізобетонним і бетонним перерізами: звідки, залежно від марки бетону і призначення арматури дістають нормовані значення р_мін = 100, μ_мін = (0,1 … 0,25 %) (дивись таблицю 2.2).

Таблиця 2.2 – Мінімальні проценти армування залізобетонних елементів

Арма-тура	Конструктивні матеріали		рмін, %, при бетоні марки
			«200»	«250» - «400»	«500» - «600»
А	Всі, що зазнають згину, і позацентрово розтягнуті		0,1	0,15	0,2
А і А´	Позацентрово стиснуті колони при l0/ri	≤ 35 36 – 82 ≥83	0,15 0,2 0,25	0,15 0,2 0,25	0,2 0,2 0,25
А і А´	Стінові панелі при l0/ri	≤ 83 > 83	0,1 0,25	0,15 0,25	0,2 0,25
А	Решта позацентрово стиснутих елементів		0,1	0,15	0,2
А´	Решта позацентрово стиснутих елементів за другим випадком і всі позацентрово розтягнуті за другим випадком

Отже, добуто формулу А.Ф. Лолейта (2.3) і встановлено межі її застосовності по армуванню. Перетворюємо її в робочі формули. Для цього α(1–0,5α) позначимо коефіцієнтом А_о, значення якого, як і наступних коефіцієнтів z₀ і у_о, наводяться в таблиці 2.3 у функції від α.

, (2.6)

_(2.7)

Ввівши ще один коефіцієнт і розв’язавши задачу відносно h₀ отримаєм

_(2.8)

Розшифрувавши далі значення величин N_a і z, що входять до виразу М = N_а z, дістанемо другу умову міцності перерізу, на цей раз для розтягнутої арматури

(2.9)

Позначаючи величини, що в дужках, коефіцієнтом у₀, дістанемо

. (2.10)

За допомогою складеної П.Л. Пастернаком універсальної таблиці 2.3, яка містить коефіцієнти r₀, γ₀, А₀ у функції від α і робочих формул (2.6) –(2.10), можна розв'язати ряд конкретних задач (приклад 1.2)

_{. (2.11)}

Таблиця 2.3 - Значення допоміжних коефіцієнтів для розрахунків на згин, позацентровий стиск і доцентровий розтяг прямокутних і таврових перерізів елементів (марки бетону і сталі – будь-які)

α	r0	γ0	A0	α	r0	γ0	A0
0,01	10,00	0,995	0,010	0,29	2,01	0,855	0,248
0,02	7,12	0,990	0,020	0,30	1,98	0,850	0,255
0,03	5,82	0,985	0,030	0,31	1,95	0,845	0,262
0,04	5,05	0,980	0,039	0,32	1,93	0,840	0,269
0,05	4,53	0,975	0,049	0,33	1,90	0,835	0,275
0,06	4,15	0,970	0,058	0,34	1,88	0,830	0,282
0,07	3,85	0,965	0,067	0,35	1,86	0,825	0,289
0,08	3,61	0,960	0,077	0,36	1,84	0,820	0,295
0,09	3,41	0,955	0,086	0,37	1,82	0,815	0,301
0,10	3,24	0950	0,095	0,38	1,80	0,810	0,308
0,11	3,11	0,945	0,104	0,39	1,78	0,805	0,314
0,12	2,98	0,940	0,113	0,40	1,77	0,800	0,320
0,13	2,88	0,935	0,121	0,41	1,75	0,795	0,326
0,14	2,77	0,930	0,130	0,42	1,74	0,790	0,332
0,15	2,68	0,925	0,139	0,43	1,72	0,785	0,337
0,16	2,61	0,920	0,147	0,44	1,71	0,780	0,343
0,17	2,53	0,915	0,155	0,45	1,69	0,775	0,349
0,18	2,47	0,910	0,164	0,46	1,68	0,770	0,354
0,19	2,41	0,905	0,172	0,47	1,67	0,765	0,359
0,20	2,36	0,900	0,180	0,48	1,66	0,760	0,365
0,21	2,31	0,895	0,188	0,49	1,64	0,755	0,370
0,22	2,26	0,890	0,196	0,50	1,63	0,750	0,375
0,23	2,22	0,885	0,203	0,51	1,62	0,745	0,380
0,24	2,18	0,880	0,211	0,52	1,61	0,740	0,385
0,25	2,14	0,875	0,219	0,53	1,60	0,735	0,390
0,26	2,10	0,870	0,226	0,54	1,59	0,730	0,394
0,27	2,07	0,865	0,234	0,55	1,58	0,725	0,400
0,28	2,04	0,860	0,241

Приклад 1. Підібрати переріз (товщину) і арматуру багато прольотної плитки.

Дано: розрахункові згинальні моменти – в першому прогоні М₁ = 650 кгс м; в середніх прогонах і над середніми опорами М₂ = ± 520 кгс м; над другою від краю опорою М₃ = 590 кгс м; бетон марки «200»; арматура класу А – 1.

Розрахунок. Товщину такої плити підбирають за більшим прогінним моментом, приймаючи α в межах 0,1 – 0,25. На цій підставі вважатимемо, що р = 0,8 %. За таблицею 1.1 R₃ = 100 кгс/см²; за таблицею 2 R_a = 2100 кгс/см².

За формулою (2.1) . У таблиці 2.3 в горизонтальному порядку проти α = 0,168 знаходять, інтерполюючи, r₀ = 2,54. За формулою (2.8) , де 100 – ширина смуги плити в 1 м = 100 см.

Повна товщина плити, з урахуванням захисного шару бетону, який дорівнює 1 см, і половини діаметра робочої арматури (в середньому 0,5 см) , h = 6,47+1,5 = 7,97 см. Після округлення h = 8 см, а нове значення h₀ = 8 – 1,5 = 6,5 см.

Переріз арматури в крайньому прогоні визначають за формулою (2.7) . В таблиці 2.3 за А₀ знаходять α = 0,17 і за формулою (2.2) см².

Якщо за А₀ знайти не α, а γ₀ = 0,915, то тоді можна скористатися формулою (2.10):

Тут і далі розрахунки виконано на логарифмічній лінійці з округленням.

Прямокутні перерізи з подвійною арматурою. Розміщення робочої (розрахункової) арматури в стиснутій зоні елементів, що зазнають згину, майже завжди викликається необхідністю посилити стиснутий бетон у переармованих перерізах обмеженої висоти або забезпечити тріщиностійкість попередньо напружених елементів під час їх виготовлення, зберігання, імпортування і монтажу.

Іноді можна розрахунком врахувати ту арматуру, яку так чи інакше введено в стиснуту зону перерізу з конструктивних міркувань: пропущені, наприклад, на проміжну опору нижні стержні нерозрізної балки, армованої в'язаною арматурою (у випадку, коли ці стержні не відгинаються).

Можна вважати, що згинальний момент, який сприймається перерізом з подвійною арматурою, складається з двох доданків

М = М₁ + М₂,

де М₁– частинамомента,яку сприймає бетонстиснутої зони і розтягнута арматура F_a1, поставлена за α_макс;

М₂ – частина момента, яку сприймає арматура пере армування розтягнутої зони F_a2 і така сама за площею арматура F´_a = F_a2, розміщена в стиснутій зоні для її підсилення.

Рисунок 2.2 – До розрахунку прямокутного перерізу з подвійною арматурою.

Рівняння рівноваги перерізу, зображеного на рисунку 2.2, набуває такого вигляду

_.

Або після перетворень

(2.12)

Межі застосування формули (2.12) такі

1) (2.13)

2) (2.14)

3) (2.15)

4) (2.16)

Практичні задачі, які можна розв’язувати за допомогою рівняння 2.12, ілюструють приклад 2 і 3.

Приклад 2. Підібрати площу перерізу розтягнутої арматури F_a для балки обмеженої висоти, в стиснутій зоні якої є задана арматура перерізом F´_а = 4,02 см².

Дано: розрахунковий згинальний момент М=18100 кгсм; R₃=100 кгс/см²; R_a=2700 кгс/см²,розміри перерізу bh =20·50см².

Розрахунок. Згинальний момент, який сприймається стиснутою арматурою і площею перерізу частини розтягнутої арматури, що дорівнює їй, М₂ = R_aF´_a (h₀ – a´) = 2700·4,02 (44,5 – 3,5) = 445 000 кгс/см.

Неприйнятна частина момента

Приклад 3. Підібрати мінімальну сумарну площу перерізу розтягнутої і стиснутої арматури в балці прикладу 2.

Розрахунок.

(2.17)

(2.18)

20,1 + 1,98 = 22,08 < 22,84 см² =18,82 + 4,02.

Таврові і двотаврові перерізи розраховують, беручи до уваги роботу звисів поличок лише в тому разі, коли останні розташовані в стиснутій зоні. Стиснуті полички таврів або двотаврів якщо вони монолітно зв'язані з ребрами, дуже впливають на її несучу здатність, і жорсткість, посилюючи стиснуту зону. Том, подібні перерізи – балок монолітних і прогонів збірних перекриттів, дво- і односхилих балок покриттів, підкранових балок ребристих і багатопустотних панелей тощо – застосовують най частіше (рисунок 2.2, 2.4)

а – таврова балка монолітного перекриття; б – ребриста панель; в – багатопустотна панель (n – кількість пустот, I, F – їх момент інерції і площа перерізу); г – двосхила балка.

Рисунок 2.3 - Різновиди перерізів, розташовуваних як таврові, якщо поличка в стиснутій зоні

Однак вплив стиснутих поличок треба обмежувати, нормуючи їх ширину b_п´, що вводиться до розрахунку. Інакше переріз може зруйнуватися сколюючими напругами в місці сполучення плит із ребром.

Рисунок 2.4- Поперечний переріз ребристої плитки покриття

Ширина стиснутої полички b_п´, що вводиться в розрахункові формули, не повинна перевищувати:

при h_п´ менше 0,05·h звиси полички в розрахунках не враховуються;

у балках ребристих монолітних покриттів

в усіх випадках b_ї^’ менше-рівне кроку балок, ребер і b_ї^’ менше-рівне прогону балки.

У багатопустотних настилах b_п´ приймають рівною ширині настилу, h_п’ – товщині стиснутої плити, а ширину ребра еквівалентного (що заміняє) таврового перерізу – сумарній ширині всіх ребер.

При перемінній висоті звисів полички значення h_п´ можна вважати рівним середній висоті звисів.

Залежно від положення нейтральної осі розрізняють два випадки розрахунку таврових перерізів:

1-й – з нейтральною віссю в межах товщини полички (рисунок 2.5а.);

2-й – з нейтральною віссю, що пересікає ребро (рисунок 2.5б).

а – за першим випадком; б – за другим випадком

Рисунок 2.5 - До розрахунку таврових перерізів

Розрахункові формули для цих випадків різні, і тому перш ніжпочинати розрахунок, слід з'ясувати, з якимізних доведеться зустрітися. Це можна зробити, розглянувши окремий випадок розміщення нейтральної осі по нижній грані плити для якого

Якщо

, (2.19)

або

( ) , (2.20)

А якщо ліві частини нерівностей (2.19) або (2.20) виявляться більшими від правих, то це вказує на 2-й випадок, при якому нейтральна вісь пересікає ребро.

Коли треба визначити висоту стиснутої зони бетону тавро­вого перерізу, розв'язують відносно х одно з рівнянь рівноваги:

якщо припустити, що нейтральна вісь знаходиться в поличці то

_, (2.21)

якщо припустити, що нейтральна вісь знаходиться в ребрі то

(2.22)

У першому випадку (дивись рисунок 2.5 а) таврові перерізи розраховують за формулами для прямокутних, замінюючи ширину стиснутої зони ребра b розрахунковою шириною стиснутої полички b_п^´ . Це випливає з тієї розрахункової передумови, що розтягнутий бетон в роботі перерізів участі не бере.

У 2-му випадку (дивись рисунок 2.5 б) розрахунок ведуть так: обчислюють частину згинального момента, яку сприймають звиси полички і частина розтягнутої арматури

(2.23)

Відповідний йому переріз частини розтягнутої арматури визначають за формулою

(2.24)

Потім знаходять залишковий згинальний момент, який сприймається стиснутим бетоном ребра (з наявною там арматурою) і рештою розтягнутої арматури

М_р = М – М_зв. (2.25)

За моментом М_р обчислюють коефіцієнт А_о, а далі за формулою (2.2а) знаходять переріз решти арматури F_а2. Повний, сумарний, переріз арматури в розтягнутій зоні

F_a = F_a1 + F_a2. (2.26)

Потрібну площу перерізу поздовжньої ненапружуваної арматури в стиснутій зоні визначають за формулою

(2.27)

де приймають за таблицею 2.3

(2.28)

(2.29)

Коефіцієнт 0,8 у формулах (2.23), (2.24) і (2.29) приводить згин міцність бетону (R_з) до призмової міцності: R_пр = 0,8 R₃, бо поличка цілком (центрально) обтиснута.

Щодо рівняння рівноваги таврового перерізу з нейтральною віссю в ребрі, то після певних перетворень рівняння (2.22) (дивись формули 2.16 і 2.12) воно набере такого вигляду

(1.30)

Отже, розрахунковий момент у цьому разі можна подати як суму двох моментів:

М_зв – момента, що сприймається звисами полички і частиною розтягнутої арматури F_а1;

М_р – момента, що сприймається стиснутим бетоном ребра і відповідним перерізом розтягнутої арматури F_а2.

Межі застосовності формул для розрахунку таврових і двотаврових перерізів визначає, як і для прямокутних перерізів, умова (2.4).

Зауважимо, що звиси поличок у розтягнутій зоні під час перевірки цієї умови не враховують; при нейтральній осі в ребрі перевірку умови (2.4) роблять тільки для ребра, без урахування звисів полички.

Переріз арматури в процентах від розрахункового перерізу ребра (bh₀) і в таврових балках не повинен бути нижчий від значень, що наводяться в таблиці 2.2.

Приклад 4. Підібрати площу перерізу арматури в прогоні таврової балки, що входить до складу монолітного ребристого покриття.

Дано: розрахунковий загальний момент М = 18 500 кгс м; R_з = 100 кгс/см²; R_a = 2700 кгс/см²; крок балок 2,5 м; розміри перерізу ребра bh = 20·50 см².

Розрахунок. h₀ = 50 – 3,5 см = 46,5 см.

За формулою , чому в таблиці 1.3 відповідає α = 0,034.

Тоді за формулою (2.2)

Оскільки R_aF_a = 27000 · 14,65 = 39600 кгс менше R₃b´_п h´_п = 100 · 8 · 250 = 200 000 кгс, то нейтральна вісь розміщується в поличці, і розрахунок виконано правильно, як для балки прямокутного перерізу шириною b´_п = 250 см.

Приклад 5. Підібрати розміри перерізу і одиночне армування таврової збірної балки.

Дано: розрахунковий згинальний момент М = 14 500 кгсм; R₃ = 100 кгс/см²; арматура класу А – ІІ.

Розрахунок. Прийнявши ширину ребра b = 20 см і розміри полички b´_п h´_п = 40 · 8 см², а також р = 1,8 % для ребра балки, за формулою (2.1) визначають α = 0,018 . За ним у таблиці 2.3 знаходять r₀ = 1,65. Потім за формулою (2.8) знаходимо

Знаючи h₀ приймемо висоту ребра h = 50 см, тоді h₀ = 50 – 3,5 = 46,5 см.

Оскільки М = 1 850 000 кгс·см більше R₃b´_п h´_п (h₀ – 0,5 h´_п) = 100 · 40 ·8 · (46,5 - 4) = 1 360 000 кгс·см, то, виходить, нейтральний шар перерізає ребро балки.

Частина згинального момента, що сприймається звисами полички і частиною перерізу розтягнутої арматури за формулою (2.22)

М_зв = 0,8 ·100 · (40 – 20) · 8 · 42,5 = 545 000 кгс см.,

А за формулою (2.24)

Кільцеві (трубчасті) перерізи. Рівняння рівноваги внутрішніх і зовнішніх зусиль, прикладених до кільцевого перерізу (рисунок 2.6), дістають за тією самою схемою, що й для прямокутних або таврових в перерізів, - сума проекцій всіх сил на повздовжню вісь елемента дорівнює нулю

_, (2.31)

а зовнішній розрахунковий момент повинен бути не більший від суми моментів усіх внутрішніх сил відносно осі, що проходить через центр ваги перерізу

(2.32)

r₁ – внутрішній радіус труби; r₂ – зовнішній радіус труби; r_а – віддаль до арматури.

Рисунок 2.6 – До розрахунку кільцевих перерізів

Під час написання цих рівнянь зроблено два припущення:

- межа між стиснутою і розтягнутою зонами проходить не по прямій, перпендикулярній до площини дії момента, а по двох радіусах, що утворюють з цією площиною кут φ = πα_к;

- арматура (не менше шести стержнів) рівномірно розподілена по кільцю, яке проходить через їх центри ваги.

Відстань від рівнодіючої внутрішніх сил у стиснутій зоні бетону, яка має форму частини кільця, до центра ваги перерізу

а відстані від рівнодіючих внутрішніх зусиль у стиснутій і розтягнутій арматурі до центра ваги перерізу дорівнюють

Підставивши їх значенняв рівняння(2.31)і(2.32), дістанемо рівняння рівноваги в остаточному вигляді

(2.33)

(2.34)

У формулах (2.33) і (2.34)

(2.35)

Значення α_{к макс}, виражені через ξ, такі:

а ) якщо переріз армовано тільки

напруженою арматурою при

σ₀ ≥ 2000 кгс/см²

б) якщо переріз армованого як не напружуваною, так і напружуваною арматурою при σ₀ > 2000 кгс/см²

_(2.36)

в) якщо переріз армовано як не

напружуваною так і напружуваною

арматурою при

де ξ – коефіцієнт із таблиці 2.1