Задание

Найти оптимальное распределение активных мощностей генерации между четырьмя ТЭС по методу приведенного градиента для примера на рис. 5 (без учета изменения потерь мощности в сети).

Рис. 5. Схема ЭЭС для задания

Нагрузка сосредоточена в узле 4. P_н = 300 МВт. Характеристики относительных приростов для этих станций заданы в виде функций в нотации Mathcad, руб/кВт ч:

Для удобства проверки расчетов рекомендуется в качестве начальных приближений взять мощности:

P₁ := 80, P₃ := 80, P₄ := 80, P₂ := 60.

Здесь зависимой переменной является P₂.

6 Оптимальное распределение активной мощности между тэс методом Ньютона второго порядка

6.1. Постановка задачи

Найти минимум функции издержек на топливо И(Z) при учете ограничений баланса мощности в ЭЭС W(Z) = 0. Вектор Z является вектором параметров режима ЭЭС, а W – вектор-функция балансовых ограничений.

Метод Ньютона второго порядка основан на квадратичной аппроксимации целевой функции и вычислении экстремума параболоиды, которая в большей степени приближает процесс к точке решения. На каждой итерации вычислительного процесса выполняется очередная аппроксимация и решение находится путем решения системы линейных уравнений, в которой правые части являются градиентом целевой функции, а матрицей коэффициентов – матрица Гессе.

Градиент и матриц Гессе могут быть получены с помощью теории неявных функций, при разделении переменных на зависимые и независимые Z = (X,Y).

где H – матрица Гессе (матрица вторых производных целевой функции); X – вектор зависимых переменных; Y – вектор независимых переменных; y – невязки к независимым переменным.

6.2. Решение задачи распределения активной мощности без учета изменения потерь в сети

Пренебрегая потерями, найдем оптимальную загрузку по активной мощности станций для схемы на рис. 6 методом Ньютона второго порядка. Схема содержит три станции (узлы 1, 2 и 3). Нагрузка сосредоточена в узле 2. P_н = 200 МВт. Характеристики относительных приростов для этих станций заданы, руб/кВт ч:

Рис. 6. Схема ЭЭС

Решение

Запишем уравнение баланса мощности в системе:

Разделим все переменные данной задачи на вектор Y независимых переменных и на вектор X зависимых. Поскольку система уравнений установившегося режима состоит из одного уравнения, то в векторе X будет всего одна компонента X = (P₂), а вектор Y = (P₁, P₃) (можно принять и любую другую комбинацию).

1) Задаем исходное приближение Y = (P₁, P₃):

P₁ = 50 МВт; P₃ = 50 МВт.

2) Вычисляем P₂ = P_н – P₁ – P₃ = 200 – 50 – 50 = 100 МВт.

3) Вычисляем вектор-градиент в заданной точке:

где

а из уравнения баланса мощности

Таким образом,

Вектор-градиент grad(И) равен

4) Вычисляем элементы матрицы Гессе H.

5) Решаем систему линейных уравнений относительно невязок по независимым переменным y.

6) Находим новые значения искомых переменных P₁, P₃

и затем P₂ = P_н – P₁ – P₃.

7) Если полученные значение удовлетворяют заданной точности расчета, то процесс заканчивается, в противном случае расчет повторяется, начиная с п.3. Мерой сходимости процесса решения можно также выбрать величину квадрата нормы вектора-градиента ² .

Задание

Найти оптимальное распределение активных мощностей генерации между тремя ТЭС по методу Ньютона второго порядка для примера на рис. 6 (без учета изменения потерь мощности в сети). Для этого:

1. Вывести формулы для получения элементов матрицы вторых производных, основываясь на способе получения производных от неявных функции (см п. 3 алгоритма расчета для градиента).

2. Так, если

, то как вычислить

?

3. Решение системы уравнений (п. 5 алгоритма)

можно сделать по соотношению:

4. Расчет выполнить с точностью по квадрату нормы градиента 0,001.