Практические занятия

1. Линейное программирование

1.1. Формы модели задачи линейного программирования

Модель задачи линейного программирования может быть заданы в одной из следующих форм:

Каноническая	Стандартная	Общая
1. Ограничения
Уравнения	Неравенства	Уравнения и неравенства
(i = 1,…,m)	(i = 1,…,m)	(i = 1,…,m)
2. Условие неотрицательности
Все переменные	Все переменные	Часть переменных
xk ≥ 0 (k = 1,…,n)	xk ≥ 0 (k = 1,…,n)	xk ≥ 0 (k = 1,…,s, s ≤ n)
3. Цель задачи
max L	max L или min L	max L или min L

1.2 Основные понятия

L – целевая функция (функция цели).

Матрицей системы линейных уравнений называется таблица, составленная из коэффициентов a_ik (i = 1,…,m; k = 1,…,n) при x₁, x₁,…, x_n.

Расширенной матрицей системы линейных уравнений называется та же матрица, дополненная столбцом свободных членов b₁, b₂,…,b_n.

r – ранг матрицы – наибольший порядок отличного от нуля определителя, который можно получить, вычеркивая из матрицы какие-то строки и какие-то столбцы.

Если система уравнений-ограничений задачи линейного программирования совместна, то матрица системы и ее расширенная матрица имеют один и тот же ранг.

Этот общий ранг r называется рангом системы; он представляет собой не что иное, как число линейно независимых уравнений среди наложенных ограничений.

Число свободных (независимых) переменных равно n – r; остальные r переменных называются базисными.

1.3 Графическое решение задачи линейного программирования

Графически могут решаться:

• задачи, заданные в канонической форме с числом свободных переменных n – r ≤ 2;

• задачи, заданные в стандартной форме, содержащие не более двух переменных;

• задачи общего вида, которые после приведения к канонической форме будут содержать не более двух переменных.

Решение задачи выполняется в два этапа: построение области допустимых решений (ОДР) и нахождение в этой области оптимального решения.

При построении ОДР может встретиться один из следующих случаев:

• пустая область;

• выпуклый многоугольник;

• неограниченная выпуклая многоугольная область.

В первом случае задача не имеет решения из-за несовместности системы ограничений в ОДР; во втором случае задача всегда имеет оптимальное решение; в третьем случае, в зависимости от направления вектора С (от коэффициентов функции L), задача может иметь или не иметь решения. Последнее связано с неограниченным возрастанием (L_max → ∞) или убыванием (L_min → –∞) функции L в ОДР.

Задача может иметь единственное оптимальное решение, совпадающее с одной из вершин области, и бесчисленное множество решений (альтернативный оптимум). В случае альтернативного оптимума и ограниченной области оптимальные решения соответствуют всем точкам отрезка, соединяющего две вершины области. В случае неограниченной области может оказаться, что среди множества оптимальных решений только одно совпадает с вершиной области.

1.4 Пример графического решения задачи линейного программирования

Рассмотрим задачу, записанную в канонической форме.

Найти минимум линейной функции семи переменных

L = x₁ – x₂ + 2x₃ – x₄ – 3x₅ + x₆ – 2x₇.

Уравнения ограничений:

x_k ≥ 0 (k = 1,…,7)

Решение. Выберем в качестве свободных переменных, например, x₁ и x₂ и выразим через них остальные (базисные) переменные: x₃, x₄, x₅, x₆, x₇. Из первого уравнения имеем:

Из третьего

Из четвертого

Подставляя x₃ во второе уравнение и x₆ – в последнее и разрешая относительно x₄, x₇, имеем:

ОДР получается построением прямых, ограничивающих область, в которой x_k ≥ 0 (k = 1,…,7).

Подставляя полученные выражения для x_k (k = 3,…,7) в целевую функцию, имеем:

Основная прямая L’ отличается от L отсутствием свободного члена

.

Прямая L’ = 0 проходит через начало координат и для ее построения необходимо взять какую-либо еще точку, лежащую на этой прямой: пусть x₁ = –2, тогда x₂ = 5. При перемещении прямой целевой функции параллельно самой себе функция L будет увеличиваться или уменьшаться. В нашем случае требуется минимизировать целевую функцию. Совершенно ясно, что для положительных x₁ и x₂ уменьшение функции L будет происходить при перемещении прямой в направлении вправо и вверх. Последняя точка ОДР, которая еще будет лежать на прямой целевой функции, находится на пересечении двух прямых x₆ = 0 и x₇ = 0. Координаты этой точки и дают оптимальное решение задачи линейного программирования.