2.6. Исчисление высказываний как формальная теория

Рассмотренные нами методы логического вывода, доказательства истинности или ложности формул являются семантическими, т. к. используют интерпретацию фор­мул: придание значений истинности пропозициональным переменным. Один из этих способов - построение таблицы истинности. Другой способ – доказательство того, что данная формула логически (на основе понятия логического следования) следует из некоторого множества формул.

Если пропозициональная формула логически следует из пустого множества формул, то она является тождественно истинной или тавтологией.

Еще один способ, рассмотренный нами – метод резолюций.

Другой способ доказательства, формально-логический или синтаксический, не требует для своего определения понятия интерпретации формул, он основан на построении формальной теории (формальной или дедуктивной системы).

Именно построение такой формальной системы или теории и может являться способом моделирования наших рассуждений во многих практически важных случаях.

Формальная система представляет собой набор начальных состояний или аксиом, которые могут быть описаны на некотором формальном языке, и правил вывода, позволяющих на основе аксиом и их следствий, получаемых с помощью правил вы­вода, строить новые и новые следствия, называемые теоремами формальной теории.

Процесс построения теорем называется формальным выводом или доказательством в формальной теории. Из школьного курса геометрии вспомним, что представляют собой аксиомы и теоремы формальной теории.

3. Порядок выполнения работы

1. Ознакомится с основными понятиями алгебры логики, методикой логического вывода.

2. Выполнить лабораторную работу в соответствии с заданным вариантом.

3. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе. Отчет должен содержать формулы и их решения с помощью таблиц истинности и эквивалентных преобразований.

4. Варианты для выполнения лабораторной работы

Решите заданные пропозициональные формы при условии что: A = False; B = True.

1. A&ùBÚ ùùA&ùB® A

2. ùA&ùBÚ( AÚùB)® A

3. A&ùBÚ A®ùB& A

4. A&ùBÚ( A®ùBÚ A)

5. A&ùB® A&ùBÚ A

6. A&ùB® AÚùB& A

7. AÚùB& A&ùB® A

8. AÚùB& AÚùB® A

9. AÚùB& A®ùB& A

10. AÚùB& A®ùBÚ A

11. AÚùB® A&ùBÚ A

12. AÚùB® AÚùB& A

13. A®ùB& A&ùBÚ A

14. A®ùB& AÚùB& A

15. A®ùBÚ A&ùBÚ A

16. A®ùBÚ AÚùB& A

17. A&ùBÚ A&ùB®ùA

18. A&ùBÚ AÚùB®ùA

19. A&ùBÚ A®ùB&ùA

20. A&ùBÚ A®ùBÚùA

21. A&ùB® A&ùBÚùA

22. A&ùB® AÚùB&ùA

23. AÚùB& A&ùB®ùA

24. AÚùB& AÚùB®ùA

25. AÚùB& A®ùB&ùA

26. AÚùB& A®ùBÚùA

27. AÚùB® A&ùBÚùA

28. AÚùB® AÚùB&ùA

29. A®ùB& A&ùBÚùA

30. A®ùB& AÚùB&ùA

31. A®ùBÚ A&ùBÚùA

32. A®ùBÚ AÚùB&ùA

33. A&ùBÚùA& B® A

34. A&ùBÚùAÚ B® A

35. A&ùBÚùA® B& A

36. A&ùBÚùA® BÚ A

37. A&ùB®ùA& BÚ A

38. A&ùB®ùAÚ B& A

39. AÚùB&ùA& B® A

40. AÚùB&ùAÚ B® A

41. AÚùB&ùA® B& A

42. AÚùB&ùA® BÚ A

43. AÚùB®ùA& BÚ A

44. AÚùB®ùAÚ B& A

45. A®ùB&ùA& BÚ A

46. A®ùB&ùAÚ B& A

47. A®ùBÚùA& BÚ A

48. A®ùBÚùAÚ B& A

49. A&ùBÚùA& B®ùA

50. A&ùBÚùAÚ B®ùA

51. A&ùBÚùA® B&ùA

52. A&ùBÚùA® BÚùA

53. A&ùB®ùA& BÚùA

54. A&ùB®ùAÚ B&ùA

55. AÚùB&ùA& B®ùA

56. AÚùB&ùAÚ B®ùA

57. AÚùB&ùA® B&ùA

58. AÚùB&ùA® BÚùA

59. AÚùB®ùA& BÚùA

60. AÚùB®ùAÚ B&ùA

61. A®ùB&ùA& BÚùA

62. A®ùB&ùAÚ B&ùA

63. A®ùBÚùA& BÚùA

64. A®ùBÚùAÚ B&ùA

65. ùA& BÚ A&ùB® A

66. ùA& BÚ AÚùB® A

67. ùA& BÚ A®ùB& A

68. ùA& BÚ A®ùBÚ A

69. ùA& B® A&ùBÚ A

70. ùA& B® AÚùB& A

71. ùAÚ B& A&ùB® A

72. ùAÚ B& AÚùB® A

73. ùAÚ B& A®ùB& A

74. ùAÚ B& A®ùBÚ A

75. ùAÚ B® A&ùBÚ A

76. ùAÚ B® AÚùB& A

77. ùA® B& A&ùBÚ A

78. ùA® B& AÚùB& A

79. ùA® BÚ A&ùBÚ A

80. ùA® BÚ AÚùB& A

81. ùA& BÚ A&ùB®ùA

82. ùA& BÚ AÚùB®ùA

83. ùA& BÚ A®ùB&ùA

84. ùA& BÚ A®ùBÚùA

85. ùA& B® A&ùBÚùA

86. ùA& B® AÚùB&ùA

87. ùAÚ B& A&ùB®ùA

88. ùAÚ B& AÚùB®ùA

89. ùAÚ B& A®ùB&ùA

90. ùAÚ B& A®ùBÚùA

91. ùAÚ B® A&ùBÚùA

92. ùAÚ B® AÚùB&ùA

93. ùA® B& A&ùBÚùA

94. ùA® BÚ A&ùBÚùA

95. ùA® BÚ AÚùB&ùA

96. ùA& BÚùA& B® A

97. ùA& BÚùAÚ B® A

98. ùA& BÚùA® B& A

99. ùA& BÚùA® BÚ A

100. ùA& B®ùA& BÚ A

101. ùA& B®ùAÚ B& A

102. ùAÚ B&ùA& B® A

103. ùAÚ B&ùAÚ B® A

104. ùAÚ B&ùA® B& A

105. ùAÚ B&ùA® BÚ A

106. ùAÚ B®ùA& BÚ A

107. ùAÚ B®ùAÚ B& A

108. ùA® B&ùA& BÚ A

109. ùA® B&ùAÚ B& A

110. ùA® BÚùA& BÚ A

111. ùA® BÚùAÚ B& A

112. ùA& BÚùA& B®ùA

113. ùA& BÚùAÚ B®ùA

114. ùA& BÚùA® B&ùA

115. ùA& BÚùA® BÚùA

116. ùA& B®ùA& BÚùA

117. ùA& B®ùAÚ B&ùA

118. ùAÚ B&ùA& B®ùA

119. ùAÚ B&ùAÚ B®ùA

120. ùAÚ B&ùA® B&ùA

Докажите или опровергните заданные равенства.

1. A&BÚA = AÚB&A

2. A®BÚA = (A&B) ®A

3. AÚBÚA = A&B&A

4. ùBÚA&B = AÚB ®A

5. ùBÚA&BA = AÚB ®A

6. AÚB&A = A&BÚA

7. A&B&A = AÚBÚA

8. A&BÚA = AÚB&A

9. AÚBÚA = A&B&A

10. AÚB&A = AÚB&A

11. A&B&A = A&BÚA

12. A&BÚA = AÚBÚA

13. AÚBÚA = A&B&A

14. A&BÚA = AÚB&A