Задания для самостоятельной работы

1. Приведите уравнение гиперболы к каноническому виду:

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

2. Дано каноническое уравнение гиперболы. Найдите действительную и мнимую «полуоси», координаты вершин, координаты фокусов, фокальное расстояние, фокальные радиусы точки , эксцентриситет, уравнения директрис:

а) ;

б) .

3. Постройте изображение гиперболы, ее фокусов и директрис:

а) ;

б) .

4. Докажите, что эксцентриситет равносторонней гиперболы равен .

§ 30. Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки равно расстоянию до данной прямой , не содержащей точку .

Точка называется фокусом параболы, а прямая  директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через :

.

Коротко определение параболы можно записать так:

.

П усть на плоскости дана прямая и точка . Проведем из точки перпендикуляр к прямой . Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы точка была серединой отрезка , а (рис. 95).

Выведем уравнение параболы с фокусом и директрисой в системе координат .

Найдем координаты точки и прямой в системе : .

Пусть . Тогда по определению параболы . Учитывая, что , получим:

.

Преобразуем это уравнение:

;

. (42)

Итак, если точка принадлежит параболе , то ее координаты удовлетворяют уравнению (42).

Пусть, обратно, координаты точки удовлетворяют уравнению (42), т.е.

.

Тогда ; а . Следовательно, , т.е. (по определению параболы).

Таким образом, доказано, что уравнение (42) есть уравнение параболы с фокусом и директрисой . Уравнение (42) называется каноническим уравнением параболы.

Чтобы изобразить параболу по ее каноническому уравнению, исследуем геометрические свойства параболы.

Свойства параболы

1. Так как и , то из уравнения (42) следует, что , т.е. все точки параболы принадлежат полуплоскости .

2. Выясним, симметрична ли парабола относительно начала координат и осей координат.

Пусть , т.е. парабола симметрична относительно оси . Ось симметрии параболы называется осью параболы.

Заметим, что и , следовательно, и , т.е. парабола не симметрична относительно начала координат и оси .

3. Найдем точки пересечения параболы с осями координат.

Таким образом, парабола имеет одну вершину.

4. Зависимость формы параболы от ее фокального параметра.

Чем больше фокальный параметр , тем сильнее парабола вытягивается вдоль оси .

5. Чтобы изобразить параболу, найдем координаты четырех вспомогательных точек, принадлежащих параболе.

.

Построение изображения параболы по ее каноническому уравнению выполняется в следующей последовательности: выбираем на плоскости прямоугольную декартову систему координат ; строим точки ; проводим через точки и параболу; строим фокус и директрису (рис. 96).

Эксцентриситетом параболы называется число единица.

Из определения параболы следует, что , т.е. для параболы также имеет место директориальное свойство.

Директриса параболы также никогда не пересекает параболу.

Если построить параболы и в той же канонической системе координат , то они будут расположены так (рис. 97):

Заметим, что на ось параболы в ее каноническом уравнении указывает та переменная, которая стоит в первой степени.