82. Локальний екстремум

Означення: точка називається точкою строгого локального максимуму(мінімуму) функції , якщо для довільних х, що взяті в деякому точки виконується нерівність . Локальний максимум і мінімум об’єднуються загальною назвою – «локальний екстремум». Поняття локального екстремуму свідчить про те, що в області свого визначення функція може мати декілька локальних екстремальних значень. Можуть мати місце випадки, коли деякий локальний максимум буде менший, ніж деякий локальний мінімум функції в області її визначення.

Теорема(необхідна умова локального екстремуму):

Якщо функція має в точці локальний екстремум і диференційована в цій точці, то . Такі точки називаються критичними точками першого роду.

83. Теорема(достатня умова локального екстремуму)

Теорема: Нехай функція диференційована в деякому точки , тоді, якщо для всіх та та , то в точці функція має локальний максимум(мінімум).Якщо диференційована в точки має один і той же знак, то в точці локальний екстремум не існує.

Іншими словами, якщо перша похідна функції при переході через точку змінює свій знак, то точка є точкою локального екстремуму. При цьому, якщо має місце зміна знака с «+» на «-», то в точці - максимум, в протилежному випадку – мінімум.

84.Означення точки перегину

Означення: Точку назвемо точкою перегину графіка функції , якщо в цій точці графік має дотичну і існує такий окіл точки , в межах якого графік функції (ліворуч та праворуч від точки ) має різноспрямовані випуклості. У точці перегину дотична перетинає графік функції , оскільки з одного боку від цієї точки він лежить віще дотичної, а з іншої – нижче.

Критичні точки ІІ роду

Означення: критичними точками другого роду графіка функції назвемо точки для яких . Крім того, будемо вважати, що графік функції має на інтервалі випуклість спрямовану верх(вниз), якщо він лежить не вище(не нижче) довільної дотичної до графіка на . Напрям випуклості графіка функції можна встановити за знаком другої похідної цієї функції.

85. Теорема про випуклість і вогнутість графіка

Теорема: Якщо функція має на інтервалі другу похідну і , у всіх точка інтервалу , то графік функції має на випуклість спрямовану вниз(верх).

86.Необхідна і достатня умова точки перегину

Теорема(необхідна умова точки перегину): Нехай графік функції має точку перегину в точці і нехай функція має в точці неперервну другу похудну, тоді .

Теорема(достатня умова точки перегину): Нехай функція має другу похідну в деякому околі точки , тоді якщо в межах цього околу має різні знаки зліва і справа від точки , то графік функції має перегин в точці .