70. Поняття диференційованості функції в точці і на проміжку.

Функція називається диференційованою в точці , якщо в цій точці вона має похідну .

Функцію називають диференційованою на проміжку, якщо вона диференційована в кожній точці цього проміжку.

Теорема: Якщо функція диференційована в точці , то вона в цій точці неперервна. Обернене твердження не правильне.

71. Правила диференціювання суми, добутку і частки функції.

Теорема: Якщо функції і диференційовані в точці х, то сума, добуток і частка цих функцій(частка за умови, що ) також диференційовані в цій точці і справедливі твердження:

1)

2)

3)

72. Диференціал

Диференціалом dy функції в точці х називається головна лінійна,відносно ,частина приросту функції f(x) в цій точці: .

Диференціал dy називається диференціалом першого порядку

y=x; y΄=x΄=1;

dy=dx= Δx;

Диференціал dx незалежної змінної х збігається з її приростом. Тому формулу можна записати так:

Формула дає змогу розглядати похідну як відношення диференціала функції до диференціала незалежної змінної:

_{Властивості:}

Оскільки диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то властивості диференціала легко дістати з властивостей похідної:

1)

2)

3)

4)

73. Похідні та диференціали вищих порядків

Нехай на інтервалі задано диференційована функція , тоді її похідна , яка називається першою похідною, також є функція від х. Може трапитись, що також має похідну на інтервалі або в деякій точці х є(a,b),. Цю останню похідну називають другою похідною або похідною другого порядку і позначають:

_{Похідну від другої похідної, якщо вона існує, називають третьою похідною або похідною третього порядку: .}

Похідною n–го порядку функції , якщо вона існує, називають першу похідну від похідної (n-1)-го порядку: _.

Нехай маємо диференційовану на деякому проміжку функцію , де х – незалежна змінна. Тоді її перший диференціал це і є деяка функція від х і можна говорити про диференціал цієї функції. Другим диференціалом або диференціалом другого порядку називають диференціал від першого порядку:

n–им диференціалом називають диференціал від диференціала n–1 порядку:

74. Теорема Ферма

Нехай функція неперервна на інтервалі і набуває свого найбільшого або найменшого значення в деякій точці с цього інтервалу. Тоді, якщо в точці с існує похідна , то ця похідна дорівнює 0 .

Геометричний зміст:

Якщо в точці х=с функція досягає найбільшого або найменшого значень, то дотична до графіка цієї функції в точці паралельна осі Ох.

Теорема Ролля

Якщо функція неперервна на відрізку , диференційована в інтервалі і на кінцях відрізка набуває однакових значень , то знайдеться хоча б одна точка с є(a,b), в якій .

Геометричний зміст:

Якщо функція задовольняє умови теореми Ролля, то на графіку цієї функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична паралельна осі Ох.

75. Теорема Коші

Якщо функції f(x) і φ(x) неперервні на відрізку , диференційована в інтервалі , причому , то існує така точка с є(a,b), що .

76. Теорема Лагранжа(формула скінченних приростів)

Якщо функція неперервна на відрізку , диференційована в інтервалі , то всередині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка с є(a,b), в якій .