77. Правило Лопіталя

Теорема 1:

Нехай функції і визначені і диференційовані в околі точці х_о (за винятком,можливо, самої точки х_о ). Причому і у вказаному околі , тоді, якщо існує границя відношення похідних, то існує і границя відношення функцій , і ці границі рівні

_{Зауваження 1: теорема справедлива і тому випадку, коли .}

Зауваження 2: якщо похідні і задовольняють ті самі умови, що і функції і , то теорему можна застосувати ще раз.

Теорема 1 дає змогу розкривати невизначеності виду .

Теорема 2:

Нехай функції і визначені і диференційовані в околі точці х_о і в цьому околі , тоді якщо існує границя , то існує і границя відношення функцій і вони рівні між собою

Теорема 2 дає змогу розкривати невизначеності виду .

78. Формула Тейлора

Теорема: Нехай функція має в точці і в деякому її околі похідні до (n+1) порядку включно. І нехай х – довільне значення аргументу і з вказаного околу , тоді між точками і х знайдеться така точка с, що справедлива формула: де

Ця формула називається формулою Тейлора(або многочленом Тейлора) в околі , а вираз називається залишковим членом формули Тейлора, записаним у формі Лагранжа є похибка наближеної рівності . Таким чином, формула Тейлора дає можливість замінити функцію многочленом з відповідним ступенем точності, рівної значенню залишкового члена.

Формула Маклорена

Формулою Маклорена називається формула Тейлора при :

де .

79. Дослідження поведінки функції:

Дослідження заданої аналітичної функції та побудови її графіка проводяться за такою схемою:

1. Знаходять область визначення функції.

2. Знаходять точки перетину графіка функції з осями координат.

3. Знаходять асимптоти графіка функції.

4. Визначають проміжки зростання та спадання функції.

5. Знаходять точки екстремуму функції.

6. Визначають напрями випуклості і вогнутості графіка.

7. Знаходять точки перегину графіка.

8. Будують графік функції з урахуванням дослідження пунктів 1-7.

80. Вертикальні, горизонтальні, похилі асимптоти.

Координати х точок перетину графіка функції з віссю абсцис знаходять як розв’язок , а координати точок перетину графіка з віссю ординат обчислюється як , що до асимптот графіка, то їх існує 3 види: вертикальні, горизонтальні і похилі.

Означення 1: пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо б хоча б 1 з граничних значень і дорівнювала .

Означення 2: пряму називають горизонтальною асимптотою при , якщо .

Означення 3: пряма називається похилою асимптотою функції , при ; , .

81. Ознаки монотонності функції

Важливим в досліджені функції та побудові її графіка є визначення інтервалів монотонності та строгої монотонності функції. Це питання тісно пов’язане з дослідженням поведінки першої похідної функції і для його вирішення користуються теоремою.

Теорема: якщо функція диференційована на інтервалі і на інтервалі , то функція не спадає(не зростає) на цьому інтервалі.

Зауваження: таким же чином формулюється теорема про ознаки строгої монотонності диференційованої функції на інтервалі. Тобто, якщо на інтервалі , то функція зростає(спадає) на інтервалі .