Друга чудова границя

Границя числової послідовності, , має границю, рівній е

59. Неперервність функцій у точці

Нехай функція визначена в точці ₀ і в деякому околі цієї точки. Функція називається неперервною в точці ₀, якщо існує границя функції в цій точці й вона дорівнює значенню функції в цій же точці, тобто

_\

_{60. Одностороння неперервність}

Функція називається неперервною в точці ₀ зліва, якщо вона визначена на інтервалі і Якщо функція визначена на пів інтервалі і ,то функція називається неперервною в точці ₀ справа.

Якщо для функції існують скінченні границі і ,причому не всі числа рівні між собою, то розрив в точці ₀ називається розривом І роду,а точку ₀ називають точкою розриву І роду. Зокрема, якщо ,то розрив в точці ₀ називається усувним,а точку ₀ називають точкою усувного розриву . У цьому випадку досить до визначити функцію лише в одній точці ₀ , просто поклавши, що функція щоб дістати функцію неперервну в точці ₀. Величину називають стрибком функції. Якщо хоча б одна з односторонніх границь у формулі не існує або дорівнює

нескінченності, то розрив в точці ₀ називається розривом ІІ роду, а сама точка ₀ – точкою розриву ІІ-го роду.

61. Теорема про неперервність суми, добутку і частки:

Якщо функції f(x) і φ(x) неперервні в точці , то в цій точці неперервні також функції f(x)±φ(x), f(x)*φ(x), f(x)/φ(x)(φ(x)≠0).

62.Теорема про неперервність складної функції:

Якщо функція неперервна в точці х₀ , а функція неперервна в точці u₀= (x₀), то складна функція f( (x)) неперервна в точці х_0.

Теорема про неперервність елементарної функції:

Всяка елементарна функція неперервна в кожній точці в якій вона визначена.

63. Неперервність функції в інтервалі й на відрізку

Функція називається неперервною в інтервалі (a;b), якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Функція називається неперервною на відрізку [a;b], якщо вона неперервна в інтервалі (a;b); в точці неперервна праворуч (тобто ), а в точці неперервна ліворуч (тобто ).

64. Теорема Больцано- Коші І: Якщо функція неперервна на відрізку і на його кінцях набирає значень різних знаків, то всередині відрізка знайдеться хоч одна точка х=с, в якій функція f(c)=0, a<c<b.

Геометричний зміст теореми:

Неперервна крива при переході з однієї півплощини в другу, межею між якими є вісь Ох перетинає цю вісь.

65. Теорема Больцано- Коші ІІ: Нехай функція неперервна на відрізку і набуває на його кінцях різних значень й . Тоді для довільного числа μ є(А,В) знайдеться таке число с є(a,b), що .

66. Теорема Вейерштрасса: Якщо функція f(x) неперервна на відрізку , то серед її значень на цьому відрізку існує найменше і найбільше. Отже, неперервна на відрізку функція f(x) досягає на цьому відрізку найбільшого M=max f(x) і найменшого m=min f(x) значень.

67. Задача про швидкість прямолінійного руху.

Нехай тіло рухається прямолінійно вздовж осі OS,але не рівномірно, тоді координата S точки буде змінюватись з часом за деяким законом S=S(t). Починаючи з деякого моменту t за час Δt тіло пройде шлях ΔS=S(t+ Δt)- S(t). Середня швидкість руху за проміжок Δt: vc= ΔS/ Δt. Середня швидкість дає лише наближене уявлення про рух в окремі моменти часу. Коли проміжок Δt зменшується, тоді vc наближається до швидкості руху в момент t, що відповідає початку проміжку Δt. Миттєвою швидкістю v(або швидкістю в момент t) називають границю відношення приросту шляху до приросту часу, коли ( ).

Миттєва швидкість v залежить від часу t, а також від вигляду функції S=S(t).

68. Похідною функції в точці х₀ називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

або

_{Геометричний зміст похідної:}

Похідна в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці, абсциса якої дорівнює .

Механічний зміст похідної:

Похідна є величиною миттєвої швидкості в момент t тіла, що рухається за законом S=S(t).

69. Односторонні похідні визначаються за допомогою односторонніх границь. Нехай функція визначена в околі точки х. Якщо в формулі передбачається, що і , то відповідну границю, якщо вона існує, називають правою похідною функції і позначають . Аналогічно позначається ліва похідна