1 Системи числення

Під системою числення розуміють спосіб подання будь-якого числа за допомогою деякого алфавіту символів, названих цифрами.

У комп'ютерах застосовуються такі позиційні системи числення: десяткова, двійкова, вісімкова і шістнадцяткова.

Алфавіт десяткової системи числення складається з десяти різних цифр: 0, 1, 2,…,9. У цій системі «вага» кожного розряду в 10 разів більша від «ваги» попереднього. Наприклад, у записі 1987 цифра 1 означає кількість тисяч, цифра 9 - кількість сотень, цифра 8 - кількість десятків і цифра 7 - кількість одиниць.

Вибір тієї чи іншої системи числення для подання чисел довільний. Так, вибір десяткової системи пояснюється тим, що людина має на руках 10 пальців. Однак різні народи в різні періоди часу користувалися й іншими системами числення.

Так, у стародавньому Вавилоні поряд з десятковою системою числення широко використовували і шістдесяткову систему числення. Сліди шістдесяткових дробів зберігаються й донині в діленні кола на 360°, години на 60 хв і хвилини на 60 с.

Зрозуміло, що не існує максимальної основи системи числення, тобто основа системи числення може бути як завгодно велика. Водночас існує мінімальна основа системи числення, що дорівнює 2. Цю систему числення називають двійковою системою числення, у якій тільки дві цифри: 0 і 1.

Будь-яке дійсне число в двійковій системі числення можна виразити у вигляді суми цілих степенів основи 2, помножених на відповідні коефіцієнти (0 чи 1). Наприклад, двійкове число 11011,012 можна подати так:

11011,012₂ = 1 • 2⁴+ 1 • 2³ + 0 • 2² + 1 • 2^і + 1 • 2° + 0 • 2 -¹ + 1 • 2~² = = 16 + 8 + 2+1+ 0,25 = 27,25₁₀.

Для фізичного зображення чисел потрібні елементи, здатні знаходитися в одному з декількох стійких станів. Кількість цих станів мають дорівнювати основі прийнятої системи числення. Тоді кожний стан буде мати відповідну цифру з алфавіту цієї системи числення.

Найпростіші з погляду технічної реалізації двопозиційні елементи здатні знаходитися в одному з двох стійких станів. Прикладами таких двопозиційних елементів можуть бути:

• електромагнітне реле (стан: замкнуте чи розімкнуте);

• феромагнітна поверхня (стан: намагнічена чи розмагнічена);

• магнітний сердечник (стан: намагнічений в одному напрямі чи в іншому);

• транзистор (стан: проводить струм чи не проводить струму).

Один із цих стійких станів може зіставити цифру 0, а другий - цифру 1.

Саме простота і забезпечила найбільше поширення в комп'ютерах двійкової системи числення.

Двійкове подання числа порівняно з десятковим потребує більшої кількості розрядів (для багаторозрядного числа приблизно в 3,3 разу). Завдяки простоті, швидкодії і дешевизні технічної реалізації двопозиційних елементів двійкова система числення натепер є основною системою, застосовуваною в комп'ютерах для подання інформації та виконання арифметичних і логічних операцій.

За допомогою відповідних програм десяткові числа з уведенням у комп'ютер перетворюються в двійкові числа, а в разі виведення виконується обернене перетворення.

У процесі програмування і налагодження програм часто доводиться використовувати двійкові коди команд програми, адрес і даних.

Двійкові числа довгі і, крім того, важкі для сприйняття. Тому для скороченого і зручного записування двійкових чисел часто використовують вісімкову і шістнадцяткову системи числення.

У вісімковій системі числення використовують вісім цифр - від 0 до 7, а будь-яке число подають сумою цілих степенів основи 8, помножених на відповідні коефіцієнти х. (0, 1, ..., 7).

Наприклад:

число 215₁₀ записується у вісімковій системі числення в такий спосіб:

215₁₀=3*8²+2*8¹+7*8⁰=327_8.

У шістнадцятковій системі числення алфавіт цифрових знаків складається із 16 символів, причому як перші десять символів використовують арабські цифри від одного до дев’яти , а додатково до них - буквені символи: 10 - А(а), 11 - В(Ь), 12 - С(с), 13 - О(сі),

Число 215₁₀ у шістнадцятковій системі числення записують так:

215₁₀=D*16¹+7*16⁰=D7₁₆.

2 СПЕЦІАЛЬНІ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ. КРИТЕРІЇ ВИБОРУ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ ДЛЯ ВИКОРИСТАННЯ ЕОМ

Крім класичних позиційних систем числення в ЕОМ використовують ряд спеціальних позиційних двійкових систем числення, в тому числі:

• систему числення з використанням символів , або ; для зручності символ позначають як ; систему числення з символами та називають системою числення ( );

• системи числення з від’ємною основою q<-1 і символами 0,1,…(q-1); систему з основою q=-2 і символами 0,1 називають мінус-двійковою системою числення;

• надлишкову систему з основою q і кількістю символів більше q, наприклад, при q=2 використовують символи ( ), таку систему називають також симетричною знакорозрядною.

Перевагою спеціальних систем числення є спрощення і прискорення виконання ряду арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та представлення єдиним кодом додатних і від’ємних чисел без додаткового знакового розряду.

Недоліком спеціальних систем числень є складність правил перекладу їх в класичні системи і навпаки, а також неоднозначне представлення ряду чисел.

Якщо у формулі:

(1)

врахувати, що символи a_i набувають значення або , то для основи q=2 число А=99₁₀ матиме вигляд .

В системі числення ( ) не має символу «0» тому деякі цілі і дробові числа в ній не можуть бути представлені скінченою множиною символів.

Наприклад, десяткове число А=20₁₀ в системі числення ( ) записується як нескінчене число , що обумовлює похибку в системі ( ). В той же час є числа, які не мають єдиного зображення.

У мінус-двійковій системі числення може бути представлене будь-яке додатне або від’ємне число.

Наприклад, для q=-2, n=4 з урахуванням вищенаведеної формули А=5₁₀=0101_(-2); А=-5₁₀=1111_(-2).

Деякі числа представлені неоднозначно і тільки нескінченими дробами: А=1/3=0,010101… або А=1,101010… .

Надлишкова система числення пов’язана із звичайним співвідношенням: .

На основі формули здійснюється перехід від звичайної системи двійкової числення до надлишкової із символами і навпаки. Надлишкова система має такі властивості:

• одне і те саме число не має єдиного запису:

А=12₁₀=011002= ;

• додатні і від’ємні числа зображуються без використання додаткового знакового розряду: А=13₁₀= ; А=-13₁₀= (при зміні знака числа достатньо змінити в записі числа 1 на і навпаки);

• можливе зменшення кількості одиниць в записі числа, що дозволяє спростити і прискорити виконання арифметичних операцій, особливо додавання і віднімання.

Перетворення двійкових чисел у надлишкову систему з мінімальним числом одиниць в розрядах виконують так: на першому етапі всі комбінації в записі числа виду 01..11 замінюють рівнозначною комбінацією виду 10…01 з тим же числом розрядів; потім виконують заміну сполучень 11 на 01 та на , наприклад:

При виборі системи числення в комп'ютерах в основному використовують однорідні позиційні системи числення. При виборі основи q цих систем враховують такі показники.

- наявність фізичних елементів для зображення цифр системи у вигляді одного із q станів, наприклад, різниці напруг. Зменшення числа станів спрощує фізичний елемент, тому найбільш прийнятою є двійкова система.

- економічність системи числення. Система з більшою основою q забезпечує представлення певного числа меншою кількістю розрядів. Але при цьому ускладнюється побудова фізичного елемента з більшим числом станів.

- ефективність системи числення з основою q, оцінюється кількістю цифрових розрядів D, необхідних для зображення певного числа з довжиною n_i, тобто D_i = q_i-n_i. При цьому враховується, що зменшення значення D призводить до зменшення електронних схем для представлення чисел в комп'ютерах.

Для представлення будь-якого десяткового числа довжиною, наприклад, n₁₀ = 6 використовують D₁₀ = q₁₀ · n₁₀ = 10·6 = 60 цифро розрядів. У двійковій системі для представлення того ж числа (з врахуванням співвідношен­ня n₂ = 3·n₁₀) потрібно мати D₂ = q₂·3·n₁₀ = 2·3·6 = 36 цифрових розрядів.

Найбільш економічною є система з основою q = 2,73 ... ~ 3.

Двійкова система економічно поступається трійковій на 5,8%, проте має надійніші фізичні елементи.

Крім того, для запам'ятовування цифр трійкової системи О, 1, 2 використовують два двійкових фізичних елементи.

Із цього виходить, що найефективнішою є двійкова система числення.

- трудомісткість і швидкодія виконання арифметичних операцій. Чим менша основа q, тим менше цифр бере участь в обчисленні даних і тим вища швидкодія комп'ютера. Наприклад, швидкодія машини в двійковій системі перевищує швидкодію в трійковій на 26,2%, а в десятковій — у 2,7 рази.

- наявність формального математичного апарату для аналізу і синтезу цифрових схем. Таким апаратом для двійкових елементів є булева алгебра.

Таким чином, з перерахованих показників видно, що найприйнятнішою для застосування в комп'ютерах є однорідна позиційна двійкова система числення.

Двійкові системи числення використовують у великих і середніх комп'ютерах, призначених для розв'язання науково-технічних задач з великим об'ємом обчислень і порівняно малою кількістю початкових даних.

Двійково-десяткову систему застосовують для розв'язання економічних задач, які характеризуються великим об'ємом вхідних і вихідних даних порівняно з малим об'ємом розрахунків.

Двійково-десяткова система має такі переваги:

• не потрібне переведення початкових даних з однієї системи в іншу;

• зручність контролю результатів зображенням їх на екрані дисплея;

• зручність автоматичного контролю через наявність надлишкових кодів у зображенні цифр: 1010, 1011.....1111.