4. Показатели эффективности

Абсолютная пропускная способность (интенсивность) – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

Относительная пропускная способность – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой (отношение среднего числа обслуживаемых в единицу времени заявок к среднему числу поступающих заявок за это время).

Вероятность отказа – вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной. Обозначается .

Также важными являются: среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе (в очереди и под обслуживанием), среднее время ожидания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе и другие.

Будем предполагать, что все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, - простейшие.

Размеченный граф состояний – это схематическое изображение возможных состояний СМО, а также возможных переходов из состояния в состояние. Пример графа состояний изображен на рисунке 1.

рисунок 1

5. Уравнения Колмогорова

Предельной вероятностью i-го состояния называется вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии в предельном стационарном режиме, т.е. при . Предельная вероятность состояния показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния , т.е. , то это означает, что в среднем пятую часть времени система находится в состоянии .

Система уравнений Колмогорова составляется по размеченному графу состояний по следующему правилу: слева в каждом уравнении стоит предельная вероятность данного состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в -е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

К этой системе добавляется еще одно условие: .

6. Процессы гибели и рождения

Входной поток заявок характеризуется интенсивностью λ – средним числом заявок, поступающим в систему в единицу времени.

Процесс «чистого рождения» - это процесс, в котором каждая заявка, поступившая в систему присоединяется к очереди и не покидает ее до тех пор, пока не будет обслужена. Вероятность числа событий t n во время t вычисляестя по формуле , где λ – интенсивность входного потока заявок.

Выходной поток заявок – совокупность заявок, обслуженных системой. Он характеризуется интенсивностью μ – средним числом заявок, обслуженных системой в единицу времени. Выходной поток заявок рассматривается в предположении, что в системе имеется N заявок, которые обслуживаются и выбывают с интенсивностью μ. Такие процессы называются процессами «чистой гибели».

Обозначим - вероятность того, что в t единиц времени обслужено n заявок, а через - вероятность того, что по истечении t единиц времени в системе останется n заявок на обслуживание. Тогда:

,

Процесс «гибели и рождения» является математической моделью изменения численности биологических популяций.

- интенсивность рождения представителя популяции (причем текущий объем популяции равен k).

μ_k - интенсивность гибели представителя популяции, если текущий объем популяции равен k.

Составив для такого процесса систему уравнений Колмогорова и решив ее, можно получить следующие выражения:

, ,

, и т.д.