5. Обчислення моментів інерції. Теорема гюйгенса-штейнера.
Момент
інерції матеріальної точки
,
системи матеріальних точок –
.
Момент інерції тіла довільної форми
визначається інтегралом:
|
(9.21) |
Для прикладу обчислимо момент інерції тонкого однорідного стержня відносно перпендикулярної до стержня вісі, що проходить через його середину (тобто, через його центр мас).
В
иділимо
на стержні елементарний відрізок dr
на відстані r
від
вісі С.
Маса його
,
де
– лінійна густина (тобто, маса одиниці
довжини стержня). Момент інерції цього
відрізка відносно вісі С
дорівнює
,
а всього стержня:
,
(
).
Отже:
|
(9.22) |
Обчислення
моментів інерції спрощується при
використанні теореми
Гюйгенса – Штейнера,
яка встановлює зв’язок між моментами
інерції тіла відносно двох паралельних
осей, одна з яких проходить через центр
мас. Нехай О
та А
– вісі , перпендикулярні площині рисунка,
що перетинають площину в точках О
та А
(рис. 9.11).
Розіб’ємо тіло на елементарні маси dm.
Для радіус-векторів
,
проведених
від осей О
та А
паралельно площині рисунка, матимемо:
;
піднесемо цю рівність до квадрату:
Помножимо на dm і проінтегруємо по m:
.
Інтеграл
зліва – це момент інерції відносно
вісі, що проходить через т. А,
перший доданок справа – момент інерції
відносно вісі, що проходить через т. О,
другий дає добуток
.
Третій інтеграл справа можна представити
так:
.
(Нагадаємо, що
або
).
– складова радіус-вектора центра мас
тіла відносно т. О,
паралельна площині рисунка. Таким чином:
.
Якщо вісь О проходить
через центр мас С, то
,
і останній вираз набуває виду:
|
(9.23) |
(9.23) називають теоремою Гюйгенса – Штейнера:
Момент
інерції тіла відносно довільної вісі
дорівнює моменту інерції його відносно
паралельної вісі, що проходить через
центр мас тіла, доданому до добутку
,
де
m
– маса тіла,
– відстань між осями.