3. Момент імпульсу та момент сили відносно нерухомої вісі.

Візьмемо в СВ довільну нерухому вісь Z. Нехай відносно деякої т. О на вісі Z момент імпульсу м.т. А дорівнював , а момент сили, що діє на м.т. – .

Моментом імпульсу відносно вісі Z називають проекцію на цю вісь вектора відносно т. О, що лежить на вісі Z (рис. 9.5).

Аналогічно визначають і момент сили відносно вісі – .

Спроектувавши векторне рівняння моментів (9.9) на вісі прямокутної декартової системи координат, одержимо еквівалентну (9.9) систему трьох скалярних рівнянь (9.11) (в цих рівняннях індекс «зовн» для зручності опущено):

(9.11)

Кожне з трьох рівнянь (9.11) називають рівнянням моментів відносно нерухомої вісі (X, Y, Z відповідно).

Якщо момент зовнішніх сил відносно якої-небудь нерухомої вісі дорівнює нулю, то момент імпульсу відносно тієї ж вісі залишається сталим.

Це твердження називають законом збереження моменту імпульсу відносно нерухомої вісі.

Для з’ясування фізичного змісту моменту сили відносно вісі розкладемо наступним чином (див. рис. 9.6):

Вектори вісі OZ; їх проекції на вісь дорівнюють нулю

= 0

Таким чином, визначається тільки складовою . також може бути розкладена на : (див рис. 9. 7). Другий доданок в останньому виразі дорівнює нулю. З іншого боку (з точністю до знаку).

Найкоротша відстань між віссю і лінією дії сили називається плечем сили відносно вісі (рис. 9.7).

Отже, момент сили відносно вісі дорівнює взятому з відповідним знаком добутку перпендикулярної складової сили на її плече.

4. Момент інерції. Основне рівняння динаміки обертового руху навколо нерухомої вісі.

Розглянемо рух м.т. по колу радіуса r. Застосуємо до цього руху рівняння моментів відносно вісі, що співпадає з віссю обертання ОО'.

Момент імпульсу м.т. відносно вісі ОО' дорівнює . Швидкість v пов’язана з кутовою швидкістю співвідношенням . Одержимо:

. Добуток маси м.т. на квадрат відстані її до вісі обертання називають моментом інерції м.т. відносно вісі:

(9.12)

Момент імпульсу м.т. відносно вісі тепер визначиться як добуток моменту інерції м.т. на її кутову швидкість:

(9.13)

Для системи м.т. і рівняння (9.13) перепишеться без змін. Якщо матеріальні точки системи беруть участь не тільки в русі по колу, а й у радіальному русі, то (9.13) залишається справедливим. Але в цьому випадку момент інерції вже не буде сталою величиною, а буде змінюватись з часом у відповідності зі зміною миттєвої конфігурації системи. Для такого загального випадку рівняння моментів відносно вісі запишеться наступним чином:

,

(9.14)

де М – момент зовнішніх сил відносно вісі обертання. Рівняння (9.14) називають основним рівнянням динаміки обертового руху навколо нерухомої вісі.

Якщо розглянута система м.т. не змінюється з часом (окремим випадком такої системи є абсолютно тверде тіло) то (9.14) можна переписати так:

, або

(9.15)

Добуток моменту інерції твердого тіла відносно нерухомої вісі обертання на кутове прискорення дорівнює моменту зовнішніх сил відносно тієї ж вісі.

Відмітимо аналогію між описанням поступального руху м.т. і обертового руху твердого тіла навколо нерухомої вісі: рівняння тотожні при заміні позначень.

Використовуючи цю аналогію, можна одразу написати вирази, наприклад, для роботи сил при повороті тіла на кут :

,

(9.16)

або для кінетичної енергії обертового руху:

(порівняйте з ) (9.17)

Для руху м.т. по колу ці вирази одержуються елементарно:

.

Введення моменту інерції дає можливість одержати ще один вираз для закону збереження моменту імпульсу відносно нерухомої вісі. Згідно означення моменту імпульсу системи м.т. . Момент імпульсу м.т. . Різні точки системи можуть рухатись з різною кутовою швидкістю , тому момент імпульсу системи м.т. відносно вісі можна подати так:

Рівняння моментів відносно вісі матиме вид:

Інтегруємо:

Якщо момент зовнішніх сил відносно вісі обертання дорівнює нулю, то момент імпульсу системи залишається сталим:

(9.18)

Якщо в будь-який момент часу всі точки системи рухаються з однаковою кутовою швидкістю, то рівняння (9.18) спрощується:

,

(9.19)

тобто добуток моменту інерції на кутову швидкість обертання залишається сталим. Для системи з двох тіл (9.18) можна записати у виді:

(9.20)

Порівняйте (9.20) з законом збереження імпульсу системи двох м.т.:

Подібність очевидна.

( 9.19) можна проілюструвати з допомогою лави Жуковського. Для збільшення ефекту демонстратор на лаві повинен в руках тримати гантелі (рис. 9.9). Векторний характер моменту імпульсу відносно точки ілюструємо так. Демонстратору на лаві даємо в руки попередньо розкручений масивний диск (гіроскоп). Момент імпульсу відносно точки, що лежить на вісі, якщо вісь нерухома, дорівнює , тобто напрям вектора співпадає з віссю обертання. Зупинка демонстратором диска або зміна лише напрямку вісі обертання приводить до появи обертального руху демонстратора з лавою Жуковського. Акцентуємо увагу на безінерційності цього обертання і вказуємо на його використання для орієнтації космічних станцій.